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Ingenieur-

Mathematik

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P(x,y )j

200 r

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n

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/ i 1


Durchgerechnete

Lösungen


E. DORNER (3>)








Durchgerechnete Lösungen Ingenieur-Mathematik 1


Inhalt

Seite

1 Erste Schritte . 3

2 Zahlen und Variable . 5

3 Numerisches Rechnen . 28

4 Elementare Geometrie. 32

5 Funktionen. 51

6 Lineare Gleichungen und Ungleichungen . 63

7 Lineare Gleichungssysteme. 89

8 Vektorrechnung . 103

9 Stereometrie . 108


Erstellt von Hans Siedler
4. Auflage, 2011


Anregungen zur Verbesserung erbeten an
wolfqanq.timischl@schule.at oder qerald.kaiser@iinode.at


Buch-Nr. 120 710

Hans Siedler, Wofgang Timischl

Ingenieur-Mathematik 1
Durchgerechnete Lösungen

© 2004 Verlag E. DORNER GmbH
Ungargasse 35, 1030 Wien
Tel.: 01 / 533 56 36, Fax: 01 / 533 56 36-15
E-Mail: office@domer-verlag.at
www.dorner-verlag.at

ISBN 978-3-7055-0632-9


2













1. Erste Schritte


1 Erste Schritte

1.1


a) x +1 = 3 |-1
x = 2 Pr.: 3 = 3

e) 3x +1 = 0 |-1
3x = -1 |: 3

x = — —- Pr.: 0 = 0
3


b) x-2 = 5 |+2 c) 2x = 5 |:2
x = 7 Pr.: 5 = 5 .. 5


f) --1 = 0 | + 1

' 4

T = 1 I ’ 4

= 4 Pr.: 0 = 0


x = — Pr.: 5 = 5
2

. 3x 1 . .

g) — = - h 4
4 2 ‘

3x = 2 |: 3

2 _ 1 1
x = — Pr.: — = -
3 2 2


d)f = l 1-2

= 2 Pr.: 1 =


h) — -- = 0 |+-
5 2 2

2x 5

1 5 "2 2

= - Pr.: 0 = 0
4


1.2 a) 4x = 0 |: 4c
x = 0
Pr.: 0 = 0

e) 0,3-« = 0,4 | -10
3n = 4 |: 3

n = - Pr.: 0,4 = 0,4
3


b) 5 = 2


a = 10
Pr.: 2 = 2

f ) | = 0,1 |-2

e = 0,2
Pr.: 0,1 = 0,1


c)f = 0 |-5

2m = 0 |: 2
m = 0 Pr.: 0 = 0


d)- = 2k |-5
1 = 10k |: 10

i 1 d 1 1

k = — Pr.: - = -
10 5 5


g)^-0,2


= 0 |-5 h) — - 0,2 = 0


0,1


s — 1 = 0

s = 1 Pr.: 0 = 0


= 0,2 1-0,1


1.3 a) 3c - 4 = 2c | + 4 - 2c
c = 4 Pr.: 8 = 8

d) - 4a + 0,5 = a + 2 | - a -
-5a = 1,5 |:(-5)
a = -0,3 Pr. fl,7 = 1,7


0,5


b)^-l = 2u |-2

u -2 = 4u I -4u
-3u = 2 |: (- 3)

2 n 4 4

u = -_ Pr- ; -3 = - 3


e) 0,1 • b + 2 = b + 0,2 | - b - 2
-0,9b = -1,8 |: (- 0,9)
b = 2 Pr.: 2,2 = 2,2


0,1

p = 0,02 Pr.: 0 = 0


c)2v + 3 = -v + 2 |:+ v — 3
3v = -1

l „ 7 7

v = -- Pr- : 3 = 5


f ) --l = 2c-ll |-3

c - 3 = 6c - 33 | - 6c + 3
- 5c = -30 |: (- 5)
c = 6 Pr.: 1 = 1


1.4 a) 2 + * = 3-(2-*)

2 + x = 6 - 3*

4x = 4 Pr.: 2 + 1 = 3-1
x=l 3=3


b) 4y - (1 + y) = 0

4y-l-y = 0

4 4

3, = 1 P r ' : 3 ~ 3 = 0

V = I 0 = 0


c) 2 • (1 - 4x) = -(1 + 2x)
2-Zx = -\-2x
3 = 6* Pr.: 2-(-l) = -2

r-I -2 =-2


d) k + 2 • (1 - 3k) = 2 - k
k+2-6k=2-k
-4k = 0

k = 0 Pr.: 2-(-l) =


e) 1 - (c +1) = 2 - 3c
1 - c -1 = 2 - 3c
2c = 2
-2 c = 1
-2


Pr.: 1-2 = 2-3
-1 = -l


f) 0,1 • (d + 3) = 0,02 + 0,3d
0,ld + 0,3 = 0,02 + 0,3d
- 0,2d = -0,28 -> d = 1,4
Pr.: 0,1 -4,4 = 0,02 + 0,42
0,44 = 0,44


3




1 Erste Schritte


1,5 a) ?l _3 = 0,2+ 2r 1 b)0,5-d + i = 2d |-2 c) | = ^ 1-6


10r - 3 = 0,2 + 2r |-2r + 3 d + l = 4d | — 3d — 1 3k = 8-2k | + 2k

8r = 3,2 |:8 -3d = -l |:(-2) 5k = 8 |:5 ü

._n 4 Pr.:4-3 = 0,2 + 0,8 . 1 „ 1 1 2 .8 Pr.:- = —

1 = I d = 3 Pr ' : ? + 2 = 3 k = I 5 3

* o o 4 4

d) —p = 3m |-3 j = j ^ ^ 5 _ I


h4 = 9m | -m-4 e ) a -2 = — + 0,5 |-2 f)




4 = 8m 1 + 4 - 2a-4 = a + \ \-a + 4 w_ 04= w ^

1 Pr.:--= - a = 5 Pr.: 5-2 = - + 0,5 3 ’ 7

m— 2 3 2 2 7w-8,4 = 3w | -3w + 8,4

1 = 3 3 = 3 4w = 8,4

2 2 _ Pr.:(7-4) 0,1 =0,3

w = 2,1

0,3 = 0,3

1.6 v = -; / = - 1.7 R = V I = — 1.8 U = t = j~ 1.9 F = p A

t v IR I-t U-I


2a-4 = a + \ |-a + 4


2-y4

1.11

„ U 2 , 2-*F

1.13

2n


g

P =- 1.12 m = ——

P v 2

T = —

CO

1.14 C = if

J-C,

c

1.16 a = 2m-c; c = 2m- a

1.17

^ | 04

II

s

US

?r-r

4^4-r

A= ab ' C

,20 n - 2h - 2 ^ h

1.21


■ „ -£l±l

bc

4 r

V3 3


P 2

. ft-

*2

■ R - 7 2* ä 2

1.23 a = ~-b ; b = ^--a
2 2

1.24

v 0 = v - a • /

t


1.25p- = ^ C + 32 1.26 h = —; a = —-

5 a + c ä


i.27 *.-Q—

2;r*r 2;r -r


1.28 ^ = —>(a + 6 + c); 6 = -(a + c)

2 p

1.30 s = v 0 -f + — -t 2 — • t 2 = s — Vq ■ t

2 2

a 2 , 2 • (s - v 0 • /)

s - t * =VQ . t a = — v o /

2 r


1.29 U L =U K +I-R, ; / = -


2 /? —

*o

2 Ri = R-r
r=R-2Ri
r = R-(\-2i) x 0


1.32r = --l 1.33 —

f = r + 1 C " V ° = ^

* = *.•('• + 0 v ° = c -^


4



2. Zahlen und Variable


2 Zahlen und Variable

2.1 a) keine Aussage b) Aussage c) Aussage

d) keine Aussage e) keine Aussage f) keine Aussage

2.2 a)nein b)jac)ja d)nein

2.3 a) Wenn die Ampel rot oder gelb zeigt, ist anzuhalten.

b) Betreten des Rasens oder Blumenpflücken ist verboten.

2.4 a) nein b) nein c) nein d) nein

2.5 a) Es ist nicht kalt.

b) Es gab jemanden, der das Problem lösen konnte.

c) Bernd ist nicht der Größte in der Klasse.

d) Es gibt mindestens einen Schüler, der nicht teilnimmt.

e) Es gibt Sportler, die Raucher sind.

f) Er ist älter als 15 Jahre.

g) Es gibt einen Schüler, der krank ist.

h) Es gibt jemanden, der viel Alkohol trinkt und nicht dick ist.

2.6 Es lässt sich nicht sagen, wie Stefan heute in die Schule kommt.

2.7 Stefan kommt heute nicht mit dem Fahrrad in die Schule.

2.8 a) notwendig b) hinreichend c) notwendig und hinreichend

d) notwendig und hinreichende) hinreichend

2.9 a) richtig b) falsch c) falsch d) richtig e) falsch f) falsch

2.10 Nein. Beispiel: Das Quadrat von -2, also (-2) 2 = 4, ist positiv, nicht aber -2.

2.11 a) Falsch. Es könnte auch sein, dass ich nicht nur froh bin, wenn die Sonne scheint, sondern

beispielsweise auch, wenn es schneit.

b) Falsch. Es wird nur gesagt, dass ich froh bin, wenn die Sonne scheint; zu allen anderen
Wetterlagen gibt es keine Information. Es könnte durchaus sein, dass ich auch bei Regen froh
bin (etwa nach einer langen Dürrezeit).

c) Wahr. Die Folgerung "Ich bin nicht froh" => "die Sonne scheint nicht" ist nur dann falsch,
wenn zutreffen könnte, dass ich nicht froh bin und die Sonne scheint. Die laut Angabe wahre
Folgerung "die Sonne scheint" => "ich bin froh" schließt aber gerade diesen Fall aus.

2.12 a) Falsch. Beispiel: Ein Paralleogramm besitzt im Allgemeinen nicht vier rechte Winkel.

Trotzdem halbieren einander die Diagonalen.

b) Falsch. Beispiel: In einem Paralleogramm halbieren einander die beiden Diagonalen. Dieses
Viereck beistzt aber im Allgemeinen trotzdem nicht vier rechte Winkel.

c) Wahr


p

Q

P XOR Q

w

w

f

w

f

w

f

w

w

f

f

f


2.14 a) A ={2, 3,4} b) B = {-1,0,1,2,3,4} c)C= {0,1,2}

d) D = {-2, -1, 0,1, 2, 3} e) E = {-4, -3, -2, -1} f) F = {-3, -2}

g) G = {1,2, 3} h) H = {5,6}

2.15 a) A = {x e 7V|3 <x <7} b) A= {x e z|-l <x< 1} c)C = {x e N\ x> 5}

d) D = JV e)E={x eZ\ x<-l} f) F = {x e z| -3 < x < 3}

2.16 a) wahr b) wahr c)wahr d) falsch e) wahr


5



2 Zahlen und Variable


2.17 a)AuB = {1,2,3,4},AnB = {2}, A\B = {1}, B\A={3,4}

b) AuB = A, AnB = A, A\B = {}, B\A = {}

c) A u B = {-3,-2,-1,0,1,2,3,... }, A n B = {0,1,2}, A \ B = {-3,-2,-1}, B \ A = {3,4,5,...}

d) AuB= {-1,0,1,2,3,4}, A n B = {}, A\B = A, B\A = B


2.18

a) A \ B =

{1,2,5} b) A\B

= {0,2,4, 6, 8, 9,10}

c) A\B = {0}

d) A\B = {}

2.19

a ) {1}

b) {0,1}

c) {0} d )N

e)N



f){}

g) {0}

h )N* i) {0}

J){0}


2.20

a) A

b) A

c) {}





A\B Komplementärmenge von B bzgl. A



2.24




2.25

2.26


a) falsch b) wahr

a) A u B = {1, 2, 3,4}
d) A n B = {2}
g) A\B= {1,4}


c) falsch d) wahr e) falsch f) wahr

b)AuC= {1,2,4, 5} c) B u C = { 2, 3,4, 5}
e) AnC = {4} f)BnC= {}

h)(AuB)uC = {l,2,3,4, 5} i)(AnB)nC={}


6








2 Zahlen und Variable


2.27 a) A = {1,2, 3,4}; B={4,5}; C={2,3,4}

2.28 a) P\F; 4 Schüler

b) F\P; 12 Schüler

c) PnF; 16 Schüler f (4)


b) A = {4, 5}; B = {2, 3}; C = {1,2,4, 5}



( 12 )



2.29 Mindestzahl: 850 einwandfreie Bauelemente (nicht

einwandfreie Bauelemente besitzen entweder
nur eine fehlerhafte erste Komponente oder
nur eine fehlerhafte zweite Komponente)

Höchstzahl: 900 einwandfreie Bauelemente (jedes
Bauelement mit einwandfreier zweiter
Komponente hat auch eine einwandfreie erste
Komponente)

2.30 a) 2-13 b) 5 2 -7 c)2 3 -3 3 d)2 2 -3 2 -7 e) 2 4 -5-l 1

f) 2-3 2 -7 2 g)2 10 h) 2 5 -5 3 i) 3-7*1311 j) 41-83

2.31 a) 12,24, 36,48, 60, 72, 84, 96,...; 28, 56, 84, 112,...; d.h. 84 kleinstes gemeinsames Vielfaches

b) 52 c) 72 d) 756

e) 24,48, 72, 96, 120, 144, 168, 192,...; 56,112, 168 ,224,...; 168, 336,...; d.h. 168

f) 60 g) 180 h) 19845

2.32 Werte in cm: 65, 130,..., 910, 975, 1040,...; 75, 150,..., 900, 975, 1050,...; d.h. nach 975 cm

2.33 a) 4 b) 6 c) 36 d) 9 e)6

2.34 a) 10 2 b) 10 3 c) 10 4 d) 10 6 e) 10 8

2.35 a)2 2 b)2 6 c)2 9 d)2 10 e)2 12

2.36 2 8 = 256 Papierlagen

2.37 a) 4 : 2 = 2, Rest 0; 4 mod 2 = 0

c) 8 : 5 = 1, Rest 3; 8 mod 5 = 3
e) 40 : 8 = 5, Rest 0; 40 mod 5 = 0

2.38 1000 : 60 = 16, Rest 40; 16 Stunden und 40 Minuten

2.39 3000 : (8-60) = 6 Rest 120; 120 : 8 = 15, Rest 0; d.h.: 6 Seiten, 15 Zeilen (vollgeschrieben)

2.40 a) Q b )N c )Q d)Z e)Ä f )N


b) 5: 2 = 2, Rest 1; 5 mod 2=1
d) 40 : 7 = 5, Rest 5; 40 mod 7 = 5


2.41 a)


— = 0 , 8 ;

5


= 0,375; — = 0,6875


Ü?-U3; ±-
99 12


16

0,416; — = 0,36
11


*> - 9 =-°’ 5 ’


d ) — =
27


0,148;


-—= -0,016; — = 0,916
60 12

— = 0,2083; — = 0,38
24 18


2.42


- = 0,428571; — = 0,0681; — = 0,17857142
7 44 28


10


/)

a)- 4 <0 b)-5<-2 c )-2 <-1 <0< 14 ^) -3 < -2 <0< 1


- = 0,714285; — = 0,322 580 64516112 90; — = 0,176 4705882352941
7 31 17


2.43 a) 0 > -1 b )-1 >-2 c)l>-l>-3>-4 tf)4>3>-3>-4


7



2. Zahlen und Variable


2.44 ä) ]— 1 , oo[ 6 )[ 0 , oo[ c)]-oo, o] d)]- 2,4]

2.45 o )8 b) 3 c) 1 </)-l e) 1 /) 3 g )6 6)6

2.46 a ) wa hr b) falsch c) falsch d) wahr e) falsch f) wahr
g) wahr h) falsch

2^47 a) falsch, wenn a negativ b) falsch für jede Zahl a

c) falsch, wenn a und b ungleiche Vorzeichen haben; z.B.: a = 4, b = -3

d) falsch, wenn etwa a = 1, b = 2

2.48 • ■••• gehört zur Menge ; O .... gehört nicht zur Menge

a)[-2,3[ - +— H—J 1 MH" d)] 2,S[ MM <H—

-2 -1 0 1 2 3 4 5 -2 -1 0 1 2 3 4 5

*)]0,2] -|-1—$ I 4 —I-1-b e >]-°°> 4 [ I-1-1-1-1-1—

-2 -1 0 1 2 3 4 5 . - 2 -1 0 1 234

«)[1. 3] H-1-1—4—I—t—I-1— /)[2.-I -t“H-►

2 3 4

-2 -1 012345

2.49 «)[0,3[ 4)[0,3[ c)[l,2] d)]2,l[={}

e)[l,5] /)] 1, 3[ g)[-2, 3] c)[-2,3]

2.50 a) 14,5 4)3,225 c) 0,128 d)5,5

2.51 a) 3 6 ) 1 c) | d) 2 e) 1 f) 26 g) 5 4) 25

2.52 a) wahr b) wahr c) wahr

2.53 a)x + 2 4) | c)-j= d)x(x- 2)

2 V*

2.54 a) x + y b)3-(x + y) c)|x-y| d)(x-y ) 2 e) JxTy

2.55 o )0 b) 0 c) 2 a

2.56 o)3 b)-\ c) 3 </) 3

2.57 o)5 6)10 c) 9 öT)15

2.58 a )2 a * *)I>, c )S- ‘Ol» > “Ol 2 ” /)2> 4 "

*=3 i=l n=l W »=1 n=l n=1

2.59 o)£« 6 )JV

n=l n=l

2.60 a)x = i-(2 + 5 + 2 + 4 + l)=y = 2,8 b) 168,83... cm « 169 cm
c) 15,4°C « 15°C d) 3,01... g« 3,0 g

2.61 a) h = y~y~ = 1,980 ...; g = Vl-100 =10 b)h = j^j = 2; g = V ^2 = 2

T + TÖÖ 2 + 2


8





2 Zahlen und Variable


2.62 a) 3 6 ) -5 c) 6 d) 10 e) -5,5 f) -5 g) -1 h) 3 /) -2 j) -2

2.63 *)9 6)-7 c)l </)-5 e )-6 /) 4 g)-3 Ä )-6 /) 2 y) - 3,1 *)-2,6 /)-6,7

2.64 a) -6 6)-6 c) 20 </) 0 e) 2 /) 0 g)-21 h) - 1 /) 12 j) 4

2.65 fl)-2 6)-2 c)2 d)0 e)0 /)-3 g)-4 6)2 /)2 y)4

2.66 <0 15 + 2 = 17 6)2 + 15 = 17 c) 8-6 = 2 rf) 24-2 = 22 <?) 12-22 = -10

/) 5-2 = 3 g) 20 + 1 = 21 6)4 + 1 = 5 /) 2-2 = 0


5 75

y) _ 20 + | = --£ = -18,75
4 4


2 3 1

2.69*) I + - + r


8 + 15 + 10


2 5 10


20

_3_

: 10


33

20


2.67 0 ) 5-9 = 45 b) 15 2 = 225 c) 18 :18 = 1 d) 9-9 = 81 e)9-9 = 81 /)12:2 = 6

g) 8 • 4 + 2 = 34 6)2 + 30 2 = 2 + 900 = 902 018:9-2 = 2-2 = 4

j) 200 : 2-100 = 100-100 = 10000

2.68 0) |-3-l| = |-4| = 4

b) 2-|4-5| = 2-|-l| = 2-l = l

c) 8-3-|5| = 8-3-|8-3| = 8-3-5 = 0

d) 2*| — 3| — 3-| — 2| = 2*3 — 3*2 = 0
•)|-3 + |-3||-|-3 + 3|-0
/) | — 3 — 3| = | — 6 | = 6
ä) |-3-|1-3|| = |-3-2| = |-5| = 5
6)|3-2-|4-l|| = |3-2-3| = |3-6| = 3


55


4 _ 7 2 7 = 80 - 84 + 24 + 35

C) 3 5 + 5 + 12 " 60 “60


U

12


4 3 3 80 + 84-105

d) - +-=-=

7 5 4 140


59

140


3_5_ 7 2 27-15 + 14-8 18 =

4 12 + 18 9 36 36

1 1 1 30 + 20 + 15 + 12 + 10

—I-1— =-

4 5 6 60


/)I + I

2 3


2.70 a)


I 1 = 5 + 4 .

4 + 5 ~ 20


87

' 60 '


29

20


,. 1 1 1 60 + 20+1
6) —i-1-=-=

' 3 9 180 180


81 9

180 "20


. x 1 1 9 + 1 10 5

c) =a) d) — + — =-= — = —

2 18 18 18 9


1 ^ 1 13 + 1 14 2 1 | 1 | 1 77 + 21 + 1

g) 7 + 91 ~ 91 91 13 J) 3 + ll + 231 231


99

231 ‘


,^ 1,111

2.71 a) E 7 = l + 2 + 3 + 4


12 + 6 + 4 + 3


12

^ 1 , 1 1 1 105 + 35 + 21 + 15

26 + 1 3 5 7 105

N ^ 1 , 1 1 1 176

j^2j-\ 3 5 7 105

^ 1 1 1 1 1 12 + 6 + 4 + 3

d) y — = - + - + - + - =-=

tl2n 2 4 6 8 24


176

105


25

24


2.72 «) 3 «7 c) 36 rf)


x M . 2r o
*> 6 7) 15 ?) 6


h) | 0


3ö-c


y)


9




2 Zahlen und Variable


2.73


a) —:2 = —

11 11


b) 3:

c)


3 _ 3-2 _
2 3

4 2 4 3


<0


3 3 2

a _13 _ a
9 T2~9


, £ # 2__c 5 _ 5 c
3 5 ~ 3 2 _ 6


2.74 fl) |


6 ) I c) 1
7 9


2.75 fl )

6 )

c)


3_ =


2-5


fll •- = — •- = —

• /) UJ ‘4 25’3 75

N (4 5 ] 15 4 3 15 _

*H7 : iJt = 7T7 =3

*) i/li-V 1 - 1 -—

3 U 12 J 3 5 7 35


3
5
2

3_

4
2 _

3

4
4

9 49


3-3

2

"3-4“

2-4

3


d) ^r = —— = 2
2 2-9


•> r

7


7-7

1


= 49


rf) —
10


2.76


fl) -•2ff! = -m = 0,2m
10 5


6 ) ^ 120 m = 60m


c) - 3 km = 2km


v 3 „ 12
«) 5 ■ 4 = y = 2,4

/) 1 . 1=1

J ' 2 3 3

,21 1
«>I -2 = 3

M 2 3 - 3

A) 5 - 4"IÖ


2.77 fl) -3 jc = 0

« f=o

c)3(x-l) = 0

d) 2x • (x + 2) = 0

x = 0

1

x-l = 0

Xj = 0; x 2 = -2


i—o

x = \



x = 0



0

11

x

1

/) 2x 2 +x = 0

g) 3 x 2 =2x

h)x 2 +3x = 4x 2

X

'x'

I

II

0

x • (2x +1) = 0

x • (3x - 2) = 0

3x = 3x 2

_x

11

0

11

*\ = 0;x 2 =~

Xj = 0

3x = 2; x, = —

2 3

3x • (1 - x) = 0
x, = 0; x 2 = 1


2.78 fl)30x 6)0 c)-fc £/)8jc + >> e)4s /)4 m g)a-46-c 6)4x-4^ + 4z
/)« - 6v j)m + 2 n

2.79 a ) a 6 )fl + fl = 2 fl c) fl - fl = 0 d)a + a = 2a e)- a- a- -2a

2.80 a )~ a b)a-a = 0 c) fl-(-fl) = 2a d)a + (-a) = 0 e)-a-(-a) = 0

2.81 fl)0 6)1

2.82 a)-x + 2y 6)0 c)-2u + v d)-2s e) x f)p + 5

2.83 fl) 1- (fl+ 6) 6)a-(-x + < y) c)r-(j-/) ^)fl + l-(jc-.y) e) 2«-5v-(-w + l)

2.84 fl) -4x -4y b)-mn-m 2 +n 2 c) -6a + 2a 2 + 2a 3 d)-x 3 + x 2

2.85 <*)7x + 3y 6)-x-v c) 6a?-11 d)3b + c e)0
f)-4x-y + 4x + x-y-y + 2x + 2x‘y = 6x-y-x-y


10




2 Zahlen und Variable


2.86 a) 3w - {v - [ w - (4« - 5v) + w ] - 2w} = 3w - {v - [ w - 4w + 5v + w ] - 2w} =

= 3w-{v-[w - 3w + 5v ]-2w } = 3a - {v-w + 3w-5v-2w} =

= 3m - {3« - 4v - 3 w } = 3w - 3m + 4v + 3 w = 4v + 3w

b) 12a - 56 - {5c + 26 + 3 • [ - 2a + 7c - (36 - 2a) - 4 • (-a + 26) ]} =

= 12a -56- {5c + 26 + 3 • [- 2a + 7c- 36 + 2a + 4a - 86 ]} =

= 12a - 56 - {5c + 26 + 3 -[4a -116 + 7c ]}= 12a - 56 - {5c + 26 + 12a - 336 + 21c} =
= 12a -56 - {12a — 316 + 26c } = 12a -56-12a+ 316 -26c = 266 - 26c = 26 -(6 -c)

c) 3x'(2y-x)-{(-x)[Ay-(y-3x)]-3y[(x-2y)-(x-3y)]} =

= 6x-y-3x 2 - {(— jc) *[4>' -y + 3x)]- 3y ■ [x-2y-x + 3.y]} =

= 6x-y-3x 2 - {(-x)\3y + 3x)\-3y\y\}=6x-y-3x 2 - {-3x-y-3x 2 -3y 2 }=

= 6x • y - 3x 2 + 3x • y + 3x 2 + 3y 2 = 9x ■ y + 3y 2 = 3y • (3x + y)

d) 2 • (2m - n) - {ln • (3m - 2 n) - m [(4w - n) - 2 • (2m + «)]- 3m • n } =

= 4m -2n - {öw • n - 4n 2 -m \ 4m -n-4m -2n\-3m • n }=

= Am -2n- {öw • n - 4« 2 - m *[-3«]-3m ■ n ]=

= 4m - 2n - {öm • n - An 2 + 3m-n-3m-n}-Am-2n- {öm • n - An 2 }=

= Am - 2n - 6m • n + An 2

2.87 a ) 3x-y - x-y = 2x-y b) 2a b-2a b = 0

c) 2u • v • w d) 9x-y - 3x y=6x • y

e) -a-r + a-s + at - (as+at-ar) = 0

f) P - 2p 2 - (-3p 2 +p) - (p 2 -p) = p - 2p 2 + 3p 2 - p - p 2 + p = p

2.88 a) a • b + 4a + 2b + 8 b) u -v - u - 3v + 3 c) 49i^ - 7r • s - 7r + s

d) a 2 - a • c - b 2 + b • c e) 4u 2 - 14u • v + 4u ■ w + 12v 2 - 5v • w - 3W 2

f) x 2 + 4 z 2 + 4x • y- 2x • z -4y • z

g) 4a 2 + 9b 2 + 16c 2 - 12a • b - 16a ■ c + 24b • c

h) 8s 3 - 14s 2 • t - 3s • t 2 + 9t 3

i) 8s 3 - 36s 2 • t + 54s • t 2 - 27t 3 j) 8x • y k)3y*

2.89 a ) 4(u + v) b) 0,3(a - b) c) x (y + z) d) x • y • (y + x) e) x • (3x 2 - 2)

f) 4u • v • (4 - 3v) g) 2,5m • (2n + k) h)x-(y+l) i)a-(a+l) j)-4(x+l)

2.90 a) 3(r • s + 2s ■ t - r) b) 12u • (3v-2u+1) c) 3a • b • (1 - 3a +2a • b)
d)-x-(u + v-l) e)x-(x 2 + x+l) f)x • y • (y + 1-x + x • y)

2.91 a)u-(mo-3m 2 ) b)K 0 -(l+i) c) Ro(l + <x • ( 0 - 0 0 )) d)t-^v 0 +|-tj


11



2 Zahlen und Variable


2.92 a) (a + b) • (2 + x) 2.93 a) a 2 + 6a + 9

bjy-ÖU V + V 2


b) (1 - a) • (x + y)

c) (a- 3) • (a- 1)

d) (u-v) • (a + 1)

e) u • (u + 1) • (3 + u)

f) (r + 3t) • (5a - b)

g) (3a + 1) • (3b + 2)

h) (x + 2) • (x - y)

i) (3u-2) • (3v - 1)


2.94 a) (x + y) 2

7 2 b) (m - n) 2

c) 9x 2 - 24x • y + 16y 2

d) r 2 - 4s 2 c)(x + 2y) 2

*> I f" 2 - 9v2 2 , 2 , . d)(b-4) 2

f) m +2m -n + n - (m - 2m • n + n ) = ,

= 4m-n e ) (2v + l) 2

g) 25a 2 - 10a • b + b 2 - (25a 2 - b 2 ) = f) 9 .( s _ i) 2

= - 10a • b + 2b 2 2

h) 4x 2 - 4x + 1 - (1 - 4x + 4x 2 ) = 0 g)(3u-v)

i) u 2 +4u ■ v + 4v 2 - (4u 2 + 4u ■ v + v 2 ) = h) (u - 0,1) 2

= - 3u 2 + 3v 2 .,


2.95 a) (x - y) • (x + y) 2.9(

b) (u - 2v) • (u + 2v)

c) (3m - 4n) • (3m + 4n)

d) (x-l).(x+l)

e) m ■ (m - 1) • (m + 1)

f) 2(x - 3) • (x + 3)

g) (a-0,1) • (a + 0,1)

h) (1 -4p) • (1 +4p) =

= - (4p- 1) • (4p + 1)

i) (1-0,1 x) • (1 +0,1 x) =

= -0,01 (x-10)-(x+10)

j) y 2 ‘ (1 -2y) • (1 + 2y)

k) (x - y) • (x + y) • (x 2 + y 2 )
i) (T - 3) • (T + 3) • (T 2 + 9)


i) 0,25(x - 2,4x + 1,44) =
= 0,5 2 • (x - 1,2) 2

2.96 a ) *-(Ä-r).(Ä + r) 2 .98«) x 2 +4x+ 4 = (x+ 2) 2

b) - p h-(D-d)-(D + d) b) x 2 + 12x + 36 = (x + 6) 2

\ c) x 2 - 6x + 9 = (x -3) 2

c) - i) d) a 2 + 18a + 81 = (a + 9) 2


c) - g {t 2 -t x )'(t 2 +t x )

d) ^-w(v 2 -v,)-(v 2 +v,)


/u-lV


2.97 a) (x + 2) • (x + 3)

b) (x + 3).(x-2)

c) (x + 6) • (x - 2)

d) (x-2) • (x- 1)


e) u — u H—

4


f) 4b 2 + 12b + 9 = (2b + 3) 2

g) 9z 2 - 12z + 4 = (3x - 2) 2

h) 4v 2 + 8v + 4 = (2v + 2) 2

i) 4v 2 +4v + l = (2v +1) 2

j) 16t 2 - 8t +1 = (4t -1) 2


2.99 a) 0,09


b) 0,09 c)


f) = 100 g) 2. h ) 32 i) 2 j) 1

2.100 a) 12 b) 54 c) 40 d) 100

2.101 a) 16 b) -16 c)-64 d)-64 e)-8 f) -16 g) 8 h)0 i) 0 j) 0

2.102 a) richtig b) falsch c) richtig


2.103 a)


M 1 ,3

0,1 2 C 4 5


2.104 a) ~~


b) - c) -8
4


e) — f) -

18 2



2 Zahlen und Variable


2.105

■>f

b) f

C) d)

4x

2x i


*> a

• ^

* b-c 2

g) — M

*

1

+

2.106

a) 2- 1

b) 4 " 2

c) 3x-y _1

d) a 2 ^ -3


e) x _1 + x" 2

^(x+l)" 1

g) 2-(a + b)~ 2

h) a-(a - l) -l (a + 3) -2


2.107 a)J-kg -1 b)s -1 c)A-m _1 d)N-m 2 e)kgm -3

f) J-m -3 g) kg-m-s“ 1 h) Jkg -1 -K -1 i)V-s-m" 2 j) W m" 2 K _1

2.108 a) 10 -3 b) IO -4 c) IO“ 1 d) IO" 5 e) 10^


2.109 a) 10 000 = 10 4 b) 1 000 000 = IO 6

c) 1 000 000 000 = IO 9 d) 1 000 000 000 000 = 10 12

2.110 a) 2-10 -1 b) 4-10 1 + 2-10° + 8-10"' + 0-10 ~ 2 + 2-10 " 3

c) -(MO°+ MO -1 + MO -2 + 3-10" 3 ) = -M0°- MO -1 - MO -2 - 3-IO -3

d) 2-10° + 4* IO -1 +0-10" 2 +5-10 _3 +8-10"'+210' 5

2.111 b 2 = (-b) 2

2.112 <*) 2x 3 + x b) -2n 2 c) -2x 2 +3y 2 d) x 3 +4x 2 -x

e) x 2 +x 2 -y+ 2x-y 2 f) ^• a 2 ■ b-a ■ b 2

2.113 a) falsch b) falsch c) wahr d) falsch e)wahr f) falsch g) falsch h) falsch


2.114 a) 1000
f) 20000


b) 0,1 c) 0,000001 d) 1 e) 200000

g) 11000 h) 120000 i) 90000 j) 0,09


2.115 a)u 7

f) 6-k 2+m


b) a c) 2y 3 d) 2r e) b n+2

g) 3 w n h) t 4 i) 21 3 j)c m+l


2.116 a ) b'-x b) 4 b

e) (3 n-m) 2 f) 1


r .

c) —-— d) 2 u • v 2

g) (3 n-mf h) (3 n-m) 3


2.117 a) 4 b) 81 c)0,l

f) 1000 g) 64 h) -64


d) 0,00001 e) -2401

i) x n+I j)a 2


2.118 a)n = 3 b)n = 4
f)n = 4 g) n = 3

2.119 a) 10" b) 4“ 2 =
f ) r> g) \


c) n = 1 d) n = 2
h) n = -3 i) n = -3

c) (2x) 2 = 4x 2

h) b 5


e) n = 3
j)n = 1



i) u + 2v j) (4-x) :


2.120 a) 64a 3



c) 16b 3 d) 16x 6 e) 2
h) 8u 3 i) 32u 3 j) -32a 4 -b


13



2 Zahlen und Variable


2.121 a) 1


2.122 a)

4


b) 1


b)


64b 3


c) 64 d) 16

^ 4 x 2 -y 2


27a 3

2.123 a) 27 b) 32 c) 16

1


e) 16
d) r 4


e) a n -b"


2.124 a) 2 6 = 64 b) 4° = 1 c) 2' 4

h)y 6 i)“ j)^ k)2

a b


2 4 16
6n i) 4(" 1 )


d) 64 e) 25
d) 3 2 = 9 e) x 10 f)4x 4 g) x 6 '


m) 2"‘


n) 9u 2 '


o) k -s n


g)m-n h) X — 0—4rr j)*' 2
s 4a b


2.125 a) 9 6 b) 27 4 c)81 3 d) 729 2

2.126 a) 64 b) 64 c) 256 d) 512 e) 250000 f) — = 0,09 g) — = 0,002

100 500

h) —= 0,000025 i) —— = 0,000025 j) - 250
2 40000 40000 J

2.127 a)4x 4 b)-^- c)\ d) \ e)^-

a x a x

2.128 a)-* 4 b)-8» 4 c)4 d) 4 e )"T

u a 3

2.129 a) wahr b) falsch c) falsch d) wahr 2.130 a) wahr b) wahr c) wahr d) falsch

2.131 a) 3 b) -2 c) m d)n-l

2.132 a) 2"-3 b) 2 n -(2"+l) c) 2 n (2 + 2 2n ) d) 2 n (2 m +2)

2.133«)-1 b)i-^5r c ) 2!,+2+ pr d > 1 + ^r e ) a "-> 01+^r

g)^~ h )P 2n -4r

a p

~ \ x un 7v-w 3 . r 4 -t „ 4s 2y-z 2

2.134 a)— b) - c) - d) 36 e)— f)

5b u 4 r 5


x 3x-y , 4 7 r 2

g)-^ h) 16q 4 -r l) —

u t 2


j)


25

4n 2


k)^ i)i--


'_bV


2.135 a) 2 KB b) 4 KB c) 64 KB d) 1024 KB 2.136 16 Adressleitungen

2.137 a) 123 b) 4601 c) 577 000 d) 770 000 000 e) 0,93 f) 0,0044

g) 0,000 078 7 h) 0,000 000 29 i) 0,000 000 030 1 j) 0,000 000 000 29

2.138 a) 1,23-10' b)5,432M0 3 c) 1,00001-10 5 d) 1,2-IO“ 1

e) -5,3-IO -3 f) 4,4-10 ^ g)7,7-10“ 7 h) 5,2-KT 11

2.139 a) 2,38-IO“ 5 K“ 1 b) 1,64 • 10' 5 K -1 c)9-10“ 7 K- 1

2.140 a) falsch, 2-10 7 b) falsch, 0,5-10“ 4 = 5-10 -5 c)wahr d)wahr e)wahr f)wahr

2.141 a) 43-10 3 m b) 4-10 2 cm c) 3-10 1 dm d) 3-10“ 1 m

e'l 5-10“ 4 km fl3-10" 5 km e^5-10- 2 dm tri 2* 10“ 4 cm


14



2 Zahlen und Variable


2.142 a) 8-10 2 dm 2 b) 2-10 2 cm 2
e) 4 IO" 2 dm 2 f)5-10^ m 2


c) 3-10 4 cm 2
g) 7-10“ 4 dm 2


d) 5-IO" 2 m 2
h) 5-10" 6 m 2


2.143 a) 3-IO 3 dm 3
e) 3-10" 3 dm 3


b) 5-10 3 cm 3 c) 7* 10 6 mm 3
f) 40-IO" 6 dm 3 g) 340-IO“ 3 1


d) 4-10“ 3 m 3
h) 300-10 3 mm 3


2.144 a) 24300 cm = 243 m = 0,243 km

c) 0,453 g = 0,0463 dag = 0,000453 kg

e) 6,91 m = 6,91 10* dm = 6,9110 2 cm
g) 3,3dm = 33 cm = 330 mm


b) 2,87-10 4 mm = 2,87-10 2 dm = 2,87-IO 1 m

d) 4,29-IO" 1 kg = 4,29-IO 1 dag = 4,29-10 2 g

f) 3,87-IO" 1 dm = 3,87 cm = 3,87-10' mm
h) 0,0017 m = 1,7 mm = 1700 jim


2.145 a) 300 dm 2 = 30000 cm 2 = 3 000 000 mm 2
c) 5,64 cm 2 = 0,0564 dm 2 = 0,000564 m 2

e) 0,67 cm 2 = 67 mm 2 = 0,000067 m 2

g) 4,23 • IO" 1 m 2 = 4,23 • IO 1 dm 2 = 4,23 • 10 5 mm 2

h) 5,38 • IO" 3 dm 2 = 5,38 • IO" 1 cm 2 = 5,38 • IO 1 mm 2


b) 40000 mm = 4 dm = 0,04 m
d) 34 dm 2 = 3400 cm 2 = 340000 mm 2
f) 0,0051 dm 2 = 0,51 cm 2 = 51 mm 2


2.146 a) 1000 dm 3 = 1 000 000 cm 3 = 10 hl
c) 0,340 m 3 = 340 1 = 340000 cm 3
e) 4,29 • IO 1 dm 3 = 4,29-10" 2 m 3 = 4,29-10' 1
g) 4,5 cm 3 = 0,045 dl = 4500 mm 3

i) 0,0288 1 = 28,8 cm 3 = 28,8 ml

j) 0,0317 dm 3 = 31,7 cm 3 = 31700 mm 3


b) 10 dm 3 = 10000 cm 3 = 0,1 hl
d) 4 1 = 0,004 m 3 = 4 000 000 mm 3
f) 6,7-10 2 d m 3 = 6,7-IO" 1 m 3 = 6,7 hl
h) 0,0024 cm 3 = 2,4 mm 3 = 0,0024 ml


2.147 a) 1


_kg_

dm 3


b)l-&y C)l-S-

cm ml


e) 0,000 001-!% f)10^r

dm 3 dm 3


g) 10 000^|

m


d) 0,001 Mr

cm

h) 1000^|


2.148 a) — = 3,6 —

1000 h h

b) — — = 0,0016 —

600 s s

c)

50 m

3 s

d) H = 0,00016 ^

6000 s s

= o,0006 ^1

5000 h h

f)

18 m 3

5 h

g) A^ = 0 ,27^

6 18 s s

h) 50^ = 16 ,6^

3 s s



2.149 a) 100 — b) 10 000

c) 1000 — d) 3 600 000 Ws



16,6 -


2.150 a) 2000 pm b) 0,05 mm = 50 pm c) 340 cm d) 40 g e) 80 cl f) 40 ps


2.151 a) 300 mm bis 1 mm b) 1000 pm bis 0,78 pm c) 380 nm bis 0,6 nm

2.152 200 Milliarden Tonnen (2 • 10" t = 200 000 000 0001)

2.153 IO 5 ' Atome 2.154 3,33 - IO 25 Moleküle = ^• 10 26 Moleküle

2.155 p = 5540^- = 5,54 2.156 ca. 9,47-10 12 km
m dm

2.157 ca. 5,6 h bzw. ca. 4,2 Jahre

2.158 a) 380 nm bzw. 780 nm b) 7,89 • IO 14 Hz bzw. 3,87 • IO 14 Hz


15



2 Zahlen und Variable


2.159 a ) 7 b > 10 c ) n d ) 12 e ) 15 f ) 100 ß) 1 h )°

i) 0,5 j) 0,3 k)0,l 1)| m)i n)i o)^

2.160 a)2 b)4 c)6 d)3 e)0 f)l g)10 h)2

i) 3 j) 2 k)2 1)0,5 m)0,l n)^ o)|

2.161 a) 31,62 b) 14,1 c) 0,316 d) 0,316 e) 0,50

f) 0,50 g) 0,250 h) 4,95 i) 21,5 j) 0,50

2.162 a) 10 b)0 c) 8 d)i e)4 y f)l g)i h)10 i)l

2.163 a) h * 2 b)s*0 c)x*2;x*-2 d)/?*|


2.164 a) a * b b) a * -


c) u * — d) x * 0; y * 0


e) x * 0 ; y * 0 f) r * -1; h * 1 g) x * — h)a5t-^;a?t^

a \ 4a 2 + . (a + 36) 2 _ a 2 + 6ab + 9b 2

Q) 6ÖÜ } 2 y C) (a-3b)-(a + 3b)~ a 2 -9b 2

.16a 2x 2 -x . 3 a 2 -b-a-b 2 2x

2.166 a) — b ) - — c) - —- 2 - d ) 2 e)

12 x 2 2a -6 2 2x 2 -2x


u 2 -2u-v + v 2


. 2a-1 2x-l .. 3a-v-a

S) 7 h) —— 0 ^-

2a -1 1 - 3x ax-Aa-y


2.167 a)— b) - c) 2,5q d) ^ e) 1-a f)


2.168 a) H-^l, (m - n) ' (m + n ) - m - n

m+n m+n

(3p + 3)(p-2) 3-(p + l)-(p-2) p + 1

3p 2 -12 3 • (p - 2) • (p + 2) p + 2

C ) m -n _ -(n-m) _ {
n-m n-m

3a 2 -12a + 12 _ 3-(a-2) 2 3-(a-2)

} a 2 -4 (a-2)• (a + 2) a + 2


y 2 -9

cn

+

rn'

1

1

y+3

y 2 -6y+ 9

1 (y-3) 2

y-3

u 2 -v 2 _

(u - v) • (u + v)

U +V

(u-v ) 2

(u-v ) 2

u-v

8r 2 + 4r

4r•(2r +1)

4

4r 3 -r ~

r-(2r-l)-(2r + l)

" 2r-l

(3x + 3) 2

9-(x + l) 2

_ X + l

9x 2 -9

’ 9(x-l)-(x + l)

" x — 1


. . 3 u-4 u-1

2.169 a) - +-=-

2 2 2

^ 2n n _ n

5m 5m 5m


u-v

u + v 2v

3

3 ~~T

3k+ 1

2k +1 _ k _

k

k _ k ~

3 + 2x

x - 4 2x - 7

y

' y + y

(2h+ 1)

2 . (2h +1) • (2h ■

2a

2a


4h -4h + l-(4hr + 4h + l) + 4h 2 -1
2a

4h 2 — 8h — 1
2a


16



2 Zahlen und Variable


2 - 170fl) T b -i-


b)


3 ( 5 _
x-y x x-y


8-5 _ 3 = 1
6b ~6b~2b
3 + 5 y


2.171 a) 1 +
b)


, 1 4
c) 7-ü m


3-4 z
3z 2


2m 3 2m + 9£

rf) —- + —=-r—

3 k 2 k 3 k 2


e) --
P

f ) 2 -

g) t

h)


1 = 3 -p_

P

a + b _ 2 b-(a + b) _b-a
b b b

st- 1 _ S-t-(S't-l) _ 1


1 2 1

T + -+ — =

n m-n n


n 2 +2 m-n + m 2


° x y + 2 =


;) --0+*)“


m -n
8y-2x + x-y
2x-y

l-.y-(l + x)_l-y-x-;y


*)


~+b -=

a 2 y


0 1+I-Ü2":

« 2m


2y+ 2a-6->'-ax
2a -y

2m-n + 2m-n-2m-n


1 M-V+l

u — v u-v
3 r 3 15r -15r + 3


c) a +

d)

e) 1


-1 5 '

1

5-(5r-l)

a-(a-2) + l

5-(5r-l)

a 2 - 2a +1

a-2

a-2

a-2

( r

r - 5 + 2r

3r-s

r- j

2-(r-s)

2 (r-s)

M + V

u - v - (u + v)

2v

u-v

u-v

u-v

1

l (m + v) • (w — v) — 1


— 4 — + 1 z , 4 + ( z + 2) • (1 ~ z ) _

z + 2 z + 2

_ 6 - z - z 2
z + 2

_J_ u 1 + (P + 2) ■ (-1 + /?) _

p+2 ^ p+2

P 2 +P~l

p + 2


Ä)


2m -


2m-n


2m -n


2.172 fl)
b)


3-2


2x + 2;/ x + .y 2x + 2y 2x + 2y

_3_2 _ 3 • (m - 3) - 2 • (m + 3) _ m -15

m + 3 m-3 (m + 3)• (m-3) m 2 -9

2x +1 - 2x 1


J_1_ = _ = _

° 2x 2x +1 2x-(2x + l) 2x • (2x +1 )

_a _2 a • (q + 2) - 2 • (a +1) a 2 -2

a + 1 a + 2 (a + l)-(a + 2) a 2 +3a + 2

1 _ m - (m +1) _ 1


m 2 -1 m-1 (m +1) • (m -1) m 2 -1

u u -u-(u + \) + u-(u- 1) _ 2 u

u + \~ (m - 1)-(m + 1) “ u 2 -1

.? -1 .s — l) 2 — -y _ 5 2 -35 + l

7+7 j 2 -l"(j + l)-(j-l)" j 2 -1

5-1 S _ (5 — l) 2 + S _ J 2 —5 + 1

7 + T”l-5 2 "(j + l)-(5-l)" 5 2 -l


17



2 Zahlen und Variable


2.173


1 1 1 _ (a - b) 2 - (a + b) + (a - b) _ a 2 - 2a • b + b 2 - a - b + a - b

a + b (a-b) 2 a 2 -b 2 ~ (a + b)(a-b) 2 ~ (a + b)-(a-b) 2

a 2 - 2a- b + b 2 -2b J_ s-1 2s 1 s-1 2s

(a + b) • (a - b) 2 l + s + (s + l) 2 1 - s 2 “ s 1(s 1) 2 + s 2 -1 “

_ s 2 -1 + (s -1) 2 + 2s • (s +1) _ s 2 -1 + s 2 - 2s +1 + 2s 2 + 2s _ 4s 2

(s +1) 2 (s-1) “ (1 + s) 2 (s-1) ~(l + s) 2 (s-l)

J_ + J_t t + l + t-l-t ^ t 1 1 t l + 2a-a 2

t-l + t + l t 2 -l t 2 -l t 2 -l 1-a (l-a) 2+ (1-a) 3

= (1 -a) 2 -(1 -a) +1 + 2a-a 2 _ l-2a + a 2 -l + a + l + 2a-a 2 = 1 + a = a + 1
(1-a) 3 " (1-a) 3 "(l-a) 3_ (a-1) 3


2a


1


2a-(a + 1)-(a-1)


= 0


a 2 -1 a-1 a + 1 a 2 -1

4x-2 3 1 2 4x -2 3 1 2

—-- 1 -= —-- 1 - 1 -

x -1 1 + X x — 1 1 — X X -1 X +1 x — 1 x — 1

4x-2-3x + 3 + 3x + 3 _ 4x + 4 _ 4-(x + l) _ 4
x 2 — 1 x 2 — 1 x 2 — 1 x — 1


4x - 2 - 3 • (x -1) + 3 • (x +1)


g)


x 2 -l

I 2 -x-y


1 =


x ( y -x■ y j _ x• (x + y) + y -x-y-(x -y )_
x-y x 2 — y 2 x 2 —y 2

„2


2y 2


3


2v


u 2 +2u-v +v
3u - 3v + 2u • v + 2v 2 + u 2 - v 2


_ _J_ 1 3 ■ (u - v) + 2v • (u + v) + (u z - v z ) - (u + v) 2

u 2 - v 2 U + V u - V (u + v) 2 • (u - v)

u 2 -2u-v-v 2 3u-3v 3• (u- v)


(u + v) 2 • (u - v)


i)


4u


4u


(u + v) • (u - v) (u + v) • (u - v)
3 4u 4u


(u + v) 2 ' l-3u l-9u 2 9u 2 -6u + l 3u-l 9u 2 -l 9u 2 -6u + l

_ 3 • (9u 2 -1) - 4u • (3u -1) - 4u • (3u +1) _ 27u 2 - 3-12u 2 +4u-12u 2 -4u _


(3u -1) 2 • (3u +1)


3u -3


(3u-1) 2 -(3u + 1)
4 1


1


(3u -1) • (3u +1)


x +2x


-4x 2 x 2 +4x + 4 x 2 -4


4 | 4 | 1 _ 1

x 2 -(x + 2) x 2 -(x-2)-(x + 2) (x + 2) 2 (x-2)-(x + 2)

4 • (x 2 - 4) + 4 • (x + 2) + x 2 • (x - 2) - x 2 • (x + 2)
x 2 - (x + 2) 2 -(x-2)

4x 2 -16 + 4x + 8 + x 3 - 2x 2 - x 3 - 2x 2 - 8 + 4x

x 2 -(x + 2) 2 -(x-2) ” x 2 -(x + 2) 2 -(x-2)

4 • (x - 2) 4

x 2 • (x + 2) 2 • (x - 2) _ x 2 • (x + 2) 2


18



2 Zahlen und Variable


, i y ,,11

2.174 fl ) 1 + - b ) -

x v u


, , 2 1 v 1 1 1

c) 1 + - d) - + — e) - + — + -

b r p n m m ■ n


1 2y , c , 1 ,,111

y x 6 2 2c 2z y 2x

r 6a 2a b 2b 4u 1 8

2.175 a) — b) 2a-——- = ~ — c) -6v- = -

3 x x -3a 3a 3v u v


d) ^-^-(-b) 2 =b 2 +3b e ) 2 + — • —=


n lU, n 2&-1 2fc + l 4& 2 -1 , fl n n-m

/) 2-t M 2 + t =—7 -r— = —n— s) -= -

^ k ) \ k) k k k \m n) m-n

.. r + 2s r-2s r 2 -4s 2 .. , . w 2 a-u 2 -(u-v)

h) — --- ~ 2 - 0 a-(u-v) -5 ff = v

k r r a-u -a-u-v au (u-v)

1 -k 2 l + k ^ (l-k)-(l + k) 2 k 2 +2k + \

J) 1 + k 2 *1 -k (\ + k 2 )-(\-k) k 2 +1

k) r2 ~ 5,2 r + s _ ( r ~s) (r + s) 2 _ r + s
r 2 +r-s r-s r -(r + s)-(r - s) r

a 3 -16a a 2 -b 2 -a-b 2 _ a(a - 4)■ (a + 4) a - b 2 • (a - 1) _ a + 4

} a 3 -b 2 -a-b 2 a 2 -4a " a ■ b 2 -(a- 1)■ (a +1)' a-(a-4) “7+T

^ 9 1 l-' 2 - 9 1 +

t-\ 3t + 3 -3 t -1 3/+ 3 3 9-(f-l)-(f+ 1)

f m 1 ^3 m 2 -1 _ m 2 +m-m +1 3 m 2 -1

Vm -1 m + lj m 3m 3 +3m (m - 1) ■ (m + 1) m 3m-(m 2 + 1)

(m 2 + l)-3-(m 2 -1) _ 1

(m 2 -\)-m-3m-(m 2 +1) m 2

^ fa + b a-ZA fj a2+ b 1 '\_ a a 2 +2a-b + b 2 -a 2 +2a-b-b 2 2a 2 -a 2 -b 2
\a-b a + zj 2a 2 J ( a-b)-(a + b ) 2a 2


H)-


m 2m + 3 m 2m + 3


f 1 l\ n-m

g ) m-n-\ - \ = m-n -

\m n) m-n


, , u a-u -(u-v)

1 ) a-(u-v) - - -=--- - = u

a-u -a-u -v a-u (u-v)


a + b

a-b '|

ja-6

a + Z>J

4a-b

a 2 -Z

2 l2

a-b

2a 2


d) ( m llfl+ m lfm w 2 +n2 \_ m ~ m + n n-m + m 2m -n-m 2 -n 2
\m-n Jv n-m) y 2 n ) m-n n-m 2 n

n n -(m-n) 2 _ n 2 "(m-n) 2 _n
m-n n-m 2n (m-n) 2 -2n 2

, 6 _ 3 ,, _ 6 „ k k 9a -b „ 2 2

2.177a)-2 = - *)3: r 3.--- c )3a-.—

^ 2 1 2 _ 2 _ 8 3a 1 _ 3a ^ _ 3a

)2 7'4r~7’T~3 ^ ^2b'^b~2b' b ~^2


4 4 3a 2 -Z> 2 4a

h) x : — = x 6y = 2y
3 • (x + y) 6y 3 - (x + ,y) jc x + y


2 m + 3 _ 2 m _ 2

** 3m m 3m m+ 3 3-(m + 3)


19



2 Zahlen und Variable


2.178 a)^_ : J2_ = ^_.i±b = J_ b) P Z 3q,2p-6q = p-3q


a + ba + b a + b 4a 4a q

•b + 1 a-b + 1 _ a
b ‘ a "b
a - (a - b) 2a-b 2 2


c) H)H) =i u


d)


q q 2 • (p - 3q) 2q
a 2 -a-b b 2 -a-b


3a 2 -b 2a b 2

u 2 -3u u-4 _ u - (u - 3) 5• (u-3) _

3a 2 -b b-(b-a) 3 7 4-u 15-5u u-4 u-4

5u (u-3) 2 ^ m 4 -1 m 2 +1 _ (m 2 -l)-(m 2 +1) 2m-n 2 _


e)


g)


(u-4) 2

f—-—1:

\b a + bj


f)


= 2-(m 2 -1)


m • n 2m-n m-n m 2 +l

a 2 - b - b 3 _ a • (a + b) - a • b a 2 _ a 2 _ a 2

a 2 b • (a + b) b-(a 2 -b 2 ) b-(a + b) b-(a 2 -b)

s-s-t s+t t


b -(a + b)-(a -b )

o (-


h)


(_s _1_V

,s 2 -t 2 s-t y


s + t s 2 -t 2


•(s-t)


x -y


X | X

x-yJ x + y


-x 2 +x-(x + y) x + y_ x-y x + y_ y


x -y


x-y


2.179 a)3 b)4 c)2a d)l e)± fl g)2 h)2 i)3 j)i k)l l)i-

4 6 3 10


N 2 y x x-y
2.180 a) f-f-j—f-


b) 1=11=1

3 2 3 6


c) r-ilJL

} 2 i 2 2


x—1
_4
2




1


1


-1 4 (x — 1) • (x +1) 4-(x + l)

( 2 r — 1 ) • ( 2 r+ 1 ) s 2


2 r-l


1

m—


e)


= s-( 2 r + l) f)


2r—1
s 2

1 1

m _ m

Ui “


m


g)


_______ (m-l)-(m + l) 1 _ m + 1

m -1 m -1 m m -1 m


m


h)


2s 3 _ 2s
’ 3 1 + 3s ~ 1 + 3s


2 . 1 2t+l

s' t + ? T 2t + l

l+10t s


2 3x+2

x + y _ 3 _ 3x + 2


_ 3

m

3

[ m

1 + m

1 + m

2

2s


r s

_ T


i +s

l+3s

3


3

3x + 2





l+3x

3


l + 3x 3x + l


10 2 - ( 2 t + 1 )


YÖ + t


10 t+ 1 10 t + l


10


20



2 Zahlen und Variable


x+1 2x-x-l


2.181 a)


x — 1


1


1


-1 x 2 -l 2 (x — 1) ■ (x +1) 2 • (x +1)


1 c 1+c-c

b) ^j±i. = l±c: = J_. c = _E_

1 1 1+c 1+c


C)


d)


1+P


--1


c

p-l-p


1+P -1 1 + P


1


1 + _P_ 1+ P + P 1 + P 1 + 2p 1 + 2p

1+p 1+p

3a+6 3(a+2)

a _ a _ 3(a + 2) a _ 3
a + 4+ 4 a 2 +4a+4 a (a + 2) 2 a + 2


3 u
- + -


9+u


e) •f-^-( 9 - u2 ) = T 2i T (9- u2 )—^ -- -ä
9-u 3u 9-u


u 3


3u


-.1 X , 1 X , 1 X

f) -+—r+1 =-+—r+l =-+-+ 1

x+1 1+ I x + 1 x+1 x+1 x + 1

X X


a+b


-b


a+b-2b


g) 1-


-b 2


1 —r = 1 ~ o 2 « =l—~~—~~*—~— =1 —
a b 2a-a+b 2 a + b a + b


(9-u 2 ) = 9 + u 2

l + x 2 +x + l _ x 2 + x + 2
x + 1 x + 1

b a+b-a+b 2b


a + b


a + b


m -1-1 m -2


m 2 -2


h)


m-1 = m-1
m , m


m-1 _ m-1

m 2 -l-m 2 m 2 -1


m 2 -2 m 2 -1


2-m


-1


m 2 ~l m 2 -l m 2 -l
m

u-v

v u-v 4u • v


______4u

(u + v) 2 4u-v-u 2 - 2u-v-v 2 V -(u-v) 2 u-v


4uv


1 -— ,
a+U


a-1


4u-v

V a+U


a-1


(l—a * (a +1)) *


a-1 _


1-a

(l-a 2 -a)-a
: a-1

1-a


1-


(a 2 +a-l)-a
(a-1) 2


21



2 Zahlen und Variable


2.181


2.182


2.183


2.184


1 i 1+b-l+b

k-v 1 T^b~lTb 1 (l-b)(l+b) 1 2b (1—b) • (1 + b)

' b b’jj±±L b (1 -b)• (1 + b) 2

1-b 1+b (1-bHl+b)


1) i + l + .ba__l± a . = i±l + (l-^a) ;

^11 q 1+a—1+a

Tä - !+ä (1-aHl+a)


a + 1 t 2 (1 - a) • (1 + a) a +1 t 1 __a + 2

a (l-a)-(l + a) 2a a a a


a)(u -. +v - v= ri + ir = ri±£r = 2i:

Vu V ) V U- v ) u +


b) (2x" l -l)-(2x

c)


U +V

4 ,


4-x z


( 1 ,V T x iV

\3x" ) k 3 J 3 J


3

1 x + 3


d) ^ ± ^2‘


1 1

— + —

x y


y+ x
xy


xy

x • y y 2 - x 2 y - x


xy

x-y


{ kJ l, k J k 3k+ 1 k 3k + l

S) ^ m + ~j : ( 2n ) _1


m-n + 2


2n = 2-(m-n + 2)



2t

9


2 2 2x • y

-— r =-=-x = 60 km/h, y = 80km/h: harmonisches Mittel: 68,6 km/h

i+i x + y

x y xy


R


= (Rr'+(R 2 + R 3 )-'



i y 1 r 2 +r 3 +R, v

R-2 J l^-l '(^-2 + ^3) /


Ri(R 2 + R 3 )

R| + R 2 + R 3


22



2 Zahlen und Variable


2.185 a)A = a + b; B = ^


c) A =-; B = 3A +1; v = 2B-x

y+z


b) A = l-3x ; B = — ; v = 4-2B
3y

d) A = —; B = 3A +1; v = 2B-x


e) A = 2x-l;B = ^;v = x + B f) A =B = 2- A; C = (2 +r) 2 • B; D = h-C; v =-^


2.186 a) ( 6 x 2 + x -2):(3x + 2 ) = 2 x -1
± 6 x 2 ±4x


b) (Bx 3 +18x +5x-3):(4x + 3) = 2x +3x-l
± 8 x 3 ± 6 x 2
0 +12x 2 +5x-3
±12x 2 ±9x


c) (2a 4 -a 3 - 6 a 2 + 6 a+ 9):(2a + 3) = a 3 -2a 2 +3


±2a 4 ±3a 3 _

0 -4a 3 - 6 a 2 + 6 a + 9


e) (t 4 -3t 3 + 6 t -4):(t 2 -2) = t 2 -3t + 2


(b 5 -4b 3 - 13b 2 - 18):(b-3) = b 4 + 3b 3 + 5b 2 + 2b + 6

fcb 5 + 3b 4 _

0 +3b 4 -4b 3 -13b 2 -18

±3b 4 T9b 3 _

0 +5b 3 -13b 2 -18

±5b 3 T15b 2 _

0 + 2 b 2 -18

, ± 2 b 2 + 6 b


0 -3t +2t +6t-4


0 + 2t 2 -4


f) (x 4 -2x 3 +2x 2 +2x-3):(x 2 - 2x + 3) = x -1
±x 4 +2x 3 ±3x 2 +2x-3
0 +0 -x 2 +2x -3


+ x 2 ±2x + 3

g) (s 5 - 4s 4 + 6 s 3 - 4s 2 - 3s):(s 2 - 2s + 3) = s 3 - 2s 2 - s 0
± s 5 + 2s 4 ± 3s 3 h) Dividend und Divisor günstigerweise vorher mit 2

4 i 2 multiplizieren, um diese bruchfrei zu machen:

0 -2s +3s -4s -3s /, 13 „ 2 .Wl , .


+ 2s ±4s T 6 s


+ s 3 ±2s 2 +3s


[f x4_ f' x2+2x + 1 )


+2X + 2 =


= (x 4 -13-x 2 + 4x + 2):(x 2 +4x + l) = x 2 -4x + 2

± x 4 14x 3 ±x 2 _

0 -4x 3 -14x 2 +4x + 2
+ 4x 3 + 16x 2 + 4x
0 + 2 x 2 + 8 x + 2
± 2 x 2 ± 8 x ±2



2 Zahlen und Variable


2.187 a) (3x + 4):(x-l)=3 + -I-

X — 1

±3xT3


c) 2* :( 2a + l)=l —

± 2a ± 1
-1

e)(3y 4 -2y 3 -5y 2 — 15y):(3y-

±3 y 4 +5y 3 _

0 +3y 3 -5y 2 — 15y

± 3y 3 + 5y 2
0 0 -15y

T 15y ±25
-25


b) (3x + 4):(2x + 3) - 2 2 2x+3 2 2(2x+3)


5) = y 3 + y 2 - 5 -


d) b




±b± 2

2


3y-5


f) Dividend und Divisor günstigerweise vorher
durch x dividieren:

(2x 5 -7x 4 + 3x 3 -3x 2 +9x):(x 2 -3x) =

(2x 4 -7x 3 +3x 2 -3x + 9):(x-3) = 2x 3 -x 2 -3
±2x 4 T6x 3 _


0 -x 3 +3x 2

Tx 3 ±3x 2


-3x + 9


•0 0 -3x + 9
T3x±9


g) (8c 4 + 5c + 2):(2c + l) = 4c 3
±8c 4 ±4c 3


- 2c 2 + c + 2


0 - 4c 3 + 5c + 2

T 4c 3 + 2c 2
0 +2c 2 +5c + 2
±2c 2 ±c


0 + 4c + 2
± 4c ± 2


h) (9z 3 + 2z-l):(3z 2 + z +1) = 3z-1

±9x 3 ±3z 2 ±3z
0 - 3z 2 - z -1
+ 3z 2 TzTl
0


i) (d 5
± d 5 ± 2d 4


+ 8d 2 + 3d + 6):(d + 2) = d 4 - 2d 3 + 4d 2 + 3


0 -2d 4 +8d 2 +3d + 6

T2d 4 T4d 3 _

0 +4d 3 +8d 2 +3d + 6
±4d 3 ±8d 2


+ 3d + 6
±3d±6


j) Dividend und Divisor günstigerweise vorher
mit 2 multiplizieren, um diese bruchfrei zu
machen:

(2x 3 +^-x-l):(x 2 +! + l) =

= (4x 3 + 3x -2):(2x 2 + x + 2) = 2x -1

±4x 3 ±2x 2 ±4x


0 - 2x - x - 2

+ 2x 2 + x + 2


24



2 Zahlen und Variable


2.187 k) (h 4

±h 4 + 2h 3 ±4h


+ 4h 2 ):(2h 2 - 4h + 8) = - • h 2 + h + 2 -


16


0 + 2h 3 +0
±2h 3 + 4h 2 ±8h
0 +4h 2 -8h
±4h 2 +8h ±16
0 +0 -16

2.188 a) x 2 + X + 1

b) x -1

c) t 2 -t + 1

d) t 2 +1 +1 + j

e) a 3 +3a 2 + 9a + 27

_X_

~\


f)x + -


g) k 3 + k +


k + 1
k 2 -1 '


2h 2 -4h + 8


=-1- h + 2 —z -

2 h 2 -2h + 4


1) (-4x 4 +2x 3 + x + 3)

+ 4x 4 + 2x 2

0 + 2x 3 + 2x 2 + x + 3
±2x 3 ± x


{«S>


= -4x +2x + 2 + -


+ 2x
±2x 2


+ 3
±1


= -4x 2 + 2x + 2 +


2x 2 +1


= k 3 +k + -


k -1


+ 2


2.189 N(x) ist das gesuchte Polynom:

2x 2 -7x + 5 _ , 2 I VI/ .

- = 2x-l + TT — |-N(x)


N(x)


N(x)


h) 3s-l

i) x 3 + x 2 +3x


j) b 2 +3b + l


k) 5t-8 +—

t 2

l) 2s 4 -2s 2 +6


20t-8


t 2 +2t-l
7

s 2 +1


2x 2 -7x + 5 = (2x-l)-N(x) + 2
2x 2 -7x + 3 = (2x -l) N(x)
N(x) = (2x 2 -7x + 3 ): (2x -1)
N(x) = 2x -1


2.190 a)15:l b) 12,5 :1 c) 1 :2,5 d) 1 :15 e)
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