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memoir thermodynamique
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Thermodynamique
de l'ingénieur
Énergétique * Environnement
Francis Meunier
Aide-mémoire
Thermodynamique
de l'ingénieur
Énergétique * Environnement
DUNOD
Ce pictogramme mérite une explication.
Son objet est d'alerter le lecteur sur
la menace que représente pour l'avenir
de l'écrit, particulièrement dans ,
le domaine de l'édition tech-
nique et universitaire, le dévelop-
pement massif du photo-
copillage.
Le Code de la propriété
intellectuelle du 1 er juillet 1992
interdit en effet expressément la
photocopie à usage collectif
sans autorisation des ayants droit. Or,
cette pratique s'est généralisée dans les
DANGER
LE PHOTOCOPILLAGE
TUE LE LIVRE
établissements d'enseignement supérieur,
provoquant une baisse brutale des achats
de livres et de revues, au point que la
v possibilité même pour les auteurs
de créer des œuvres nouvelles et
de les faire éditer correctement
est aujourd'hui menacée.
Nous rappelons donc que
toute reproduction, partielle ou
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droit de copie (CFC, 20 rue des Grands-
Augustins, 75006 Paris).
© Dunod, Paris, 2004
ISBN 2 10 007154 8
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non destinées à une utilisation collective, ainsi que les analyses et courtes
citations justifiées par le caractère critique, pédagogique ou d’information de
l’œuvre à laquelle elles sont incorporées, sous réserve, toutefois, du respect des
dispositions des articles L 122-10 à L 122-12 du même Code, relatives à la
reproduction par reprographie.
TABLE DES MATIERES
Avant-propos VII
1 • Les deux principes de la thermodynamique 1
1.1 Système thermodynamique 1
1.2 Le premier principe de la thermodynamique 4
1.3 Le second principe de la thermodynamique 18
1.4 L'entropie 27
1.5 L'exergie 41
2 • Relations fondamentales 47
2.1 Équations de Gibbs et Gibbs-Duhem 47
2.2 Les quatre fonctions d'état 53
2.3 Relations de Maxwell 56
2.4 Mélanges de fluides 67
3 • Propriétés des corps purs 73
3.1 Introduction 73
3.2 Règle des phases de Gibbs pour les corps purs 76
3.3 Les gaz à un constituant 77
3.4 Les phases condensées : liquides ou solides 108
3.5 Changements de phase 111
3.6 Propriétés thermodynamiques et diagrammes
des corps purs 119
3.7 Compression et détentes adiabatiques 127
4 • Propriétés des mélanges
135
4.1
Solutions idéales
135
4.2
Solutions non idéales
142
4.3
Équilibre liquide-vapeur pour les mélanges (loi de Raoult)
144
4.4
Diagrammes de phase liquide/vapeur
pour des systèmes binaires
146
5 • Cycles thermodynamiques
155
5.1
Le concept de cycle thermomécanique
155
5.2
Les cycles moteurs à vapeur
157
5.3
Les cycles moteurs à gaz
188
5.4
Le cycle combiné
210
5.5
Les cycles inverses à compression mécanique de vapeur
212
5.6
Les cycles inverses à compression de gaz
215
5.7
Les cycles à détente
223
5.8
Le cycle frigorifique à compression thermique de vapeur
231
5.9
La polygénération
235
6 • Combustion
239
6.1
Notions générales sur la combustion
239
6.2
Application du premier principe à la combustion
242
6.3
Bilan énergétique de la combustion
245
6.4
Constante d'équilibre d'une réaction chimique
(gaz parfaits)
254
7 • Formalisme avancé
261
7.1
Thermodynamique des processus irréversibles
261
7.2
Thermodynamique en temps fini
269
8 • Environnement
et développement durable
279
8.1
L'effet de serre et sa quantification
280
IV
8.2 Impact environnemental
de quelques procédés énergétiques 290
8.3 Analyse du cycle de vie (ACV) 295
Annexes
A • Propriétés des corps 307
B • Combustion 354
Index 359
v
AVANT-PROPOS
Cet ouvrage présente les concepts ainsi que les outils de base de la thermo-
dynamique telle qu’elle a été conçue dans le passé et telle qu’elle est uti-
lisée aujourd’hui pour les applications énergétiques et pour certaines
applications environnementales. Un ouvrage de thermodynamique ne
peut pas se dispenser de l’outil mathématique qui a permis à la thermo-
dynamique d’acquérir ses lettres de noblesse. Néanmoins, il est prouvé
qu’il n’est nullement indispensable de posséder un niveau élevé en mathé-
matiques pour maîtriser parfaitement la thermodynamique de l’ingénieur.
Fort de mon expérience d’enseignement au Cnam et à l’Institut français
du froid industriel (IFFI), je me suis efforcé, dans cet ouvrage, de ne pas
occulter la démarche mathématique qui fait la force de la thermodyna-
mique, tout en permettant au lecteur de suivre le fil conducteur et de
pouvoir appliquer les résultats même si certains développements mathé-
matiques peuvent lui échapper. Cet ouvrage, destiné à des techniciens
supérieurs titulaires d’un BTS, DUT ou son équivalent, est accessible
dans certaines de ses parties à des étudiants inscrits en BTS ou DUT et
dans d’autres, plutôt à des ingénieurs.
La thermodynamique est toujours présente dans la démarche de l’ingénieur
en énergétique et en environnement qui conçoit ou utilise une instal-
lation, mais l’ingénieur est soumis à d’autres contraintes que la seule
contrainte thermodynamique. Jusqu’à présent, il travaillait essentiellement
sous contrainte économique; l’élément nouveau, à la fin du XX e siècle, a été
l’apparition de la contrainte environnementale. La thermodynamique ne
peut pas rester insensible à cette évolution, et c’est pourquoi le chapitre 8
de cet ouvrage rend compte de nouvelles démarches permettant de pren-
dre en compte cette nouvelle contrainte via le développement durable.
VII
Je tiens à remercier mes collaborateurs enseignants (MM. Bonjour et
Domblides) qui dispensent, au Cnam et à l’IFFI, les enseignements diri-
gés associés aux cours qui relèvent de cet ouvrage, pour leurs remarques
précieuses qui ont permis de faire évoluer mon enseignement. Je tiens
également à remercier M. C. Chevalier, stagiaire, pour sa contribution
sur l’AC\( M. G. Descombes, enseignant, pour sa relecture partielle,
ainsi que M. Settouraman pour son aide précieuse dans la réalisation des
figures.
VIII
D Dunod - La photocopie non autorisée est un délit.
1 «LES DEUX PRINCIPES
DE LA THERMODYNAMIQUE
Toute étude thermodynamique commence par une définition du sys-
tème thermodynamique, de l’état d’un tel système, des variables permet-
tant de le définir ainsi que des fonctions d’état.
1.1 Système thermodynamique
Un système thermodynamique peut être complexe; il peut évoluer
(évolution thermodynamique, chimique, biologique, etc.). On caracté-
rise un système suivant la nature de ses échanges (matière et énergie)
avec l’extérieur. Le système est dit isolé s’il n’échange ni matière ni éner-
gie avec le milieu extérieur (l’Univers est un système isolé). Il est dit
fermé s’il n’échange pas de matière avec le milieu extérieur. Il est dit ouvert
s’il peut échanger de la matière avec le milieu extérieur. Il est dit adiaba-
tique si aucun échange de chaleur n’est possible avec l’extérieur.
1.1.1 État d'un système thermodynamique
Pour décrire l’état d’un système thermodynamique, on utilise des
variables d’état. Certaines variables dépendent de l’échelle du système
(volume, masse, énergie, etc.) et sont appelées variables extensives;
d’autres variables sont intrinsèques et ne dépendent pas de l’échelle
(température, pression, etc.) et sont appelées variables intensives. Pour
distinguer commodément les variables intensives et extensives, considé-
1
1 • Les deux principes
de la thermodynamique
1.1 Système thermodynamique
rons un système homogène S en équilibre défini par un nombre n de
variables thermodynamiques : la masse m et (n — 1) variables X j: i variant
de 1 à (n — 1) ; considérons une partie XS de S dont la masse est ~km
(0 < ~K < 1). Le système thermodynamique XS sera caractérisé par
n variables thermodynamiques : A m et (n — 1) variables x ; ; x { est une
variable extensive si x i = XX j , et x : est une variable intensive si x t = X t .
À titre d’exemple, la température est une variable intensive qui ne
dépend pas de la masse du sous-ensemble alors que le volume est une
grandeur extensive qui dépend de la masse du sous-ensemble. Le nombre
de variables intensives indépendantes nécessaires pour décrire un état
d’équilibre est appelé la variance du système. Mais pour définir l’état exten-
sif du système, il faut de plus préciser les valeurs d’une variable extensive
de chacune des phases en présence. La règle de phase de Gibbs permettant
de déterminer le nombre de variables d’état nécessaires pour caractériser
l’état (intensif ou extensif) d’un système sera introduite au chapitre 2.
1.1.2 Évolution d'un système thermodynamique
Un système thermodynamique peut évoluer entre des états différents.
On définit des évolutions particulières de systèmes thermodynamiques.
C’est ainsi que l’on introduira les notions de transformations réversibles
ou irréversibles, de transformations adiabatiques (sans échange de cha-
leur avec le milieu extérieur), de transformations isothermes (à tempéra-
ture constante), de transformations isobares (à pression constante) ou
encore isochores (à volume constant). Par ailleurs, les transformations
cycliques (que l’on appellera plus simplement « cycles thermodyna-
miques ») joueront un rôle important dans cet ouvrage. Un cycle thermo-
dynamique est une transformation au cours de laquelle l’état final est
rigoureusement identique à l’état initial. Si toutes les transformations au
sein du cycle sont réversibles, le cycle est dénommé cycle réversible. Dans
le cas où les transformations internes sont réversibles mais les couplages
externes (échanges de chaleur ou autres) sont irréversibles, le cycle est
dénommé cycle endoréversible : c’est le cas des transformations internes
réversibles à température variable avec des échanges de chaleur irréversi-
bles car s’effectuant avec des sources de chaleur à température constante.
2
La photocopie non autorisée est un délit
1 • Les deux principes
de la thermodynamique
1.1.3 Fonction d'état
Considérons un état thermodynamique 1 bien défini et un autre état
thermodynamique 2 également bien défini. Au cours d’une transforma-
tion, on fait appel à des grandeurs pour caractériser l’évolution (chaleur
et travail échangés, variation d’énergie, etc.). Une grandeur sera une
fonction d’état si sa variation entre les états 1 et 2 est indépendante du
chemin suivi pour effectuer la transformation. En revanche une gran-
deur dont la variation dépend du chemin suivi n’est pas une fonction
d’état. Mathématiquement, une fonction d’état f peut s’exprimer en
fonction des variables d’état du système et sa différentielle est une dif-
férentielle exacte, ce qui conduit aux propriétés suivantes :
/i-2 = Jd/ = /(2)-/(l) [1.1]
1
où/(2) et/(l) sont les valeurs prises respectivement par la fonction d’état f
aux états thermodynamique 2 et 1. Pour une transformation cyclique
(état final rigoureusement identique à l’état initial) :
^d/ = 0 [1.2]
Réciproquement, si une grandeur E est telle que sa variation entre deux
états thermodynamiques 1 et 2 est indépendante du chemin suivi, on
peut dire que E est une fonction d’état et sa variation pour une transfor-
mation élémentaire est une différentielle totale dE.
En revanche, pour une grandeur q qui n’est pas une fonction d’état :
2
Î1-2=J§? [1-3]
1
dépend du chemin suivi pour aller de l’état 1 à l’état 2 car 6 q n’est pas
une différentielle totale. De plus, pour une transformation cyclique :
cf 8q ^ 0 [1.4]
3
1.1.4 Équation d'état
Nous avons vu que toute propriété d’un système thermodynamique à
l’équilibre se trouve reliée aux variables thermodynamiques du système.
On appelle équation d’état toute équation reliant une propriété du système
à un ensemble de variables indépendantes. C’est ainsi que les propriétés
de la matière sont représentées par des équations d’état. L’équation des
gaz parfaits PV = nRT (que nous présenterons au chapitre 3) est ainsi
une équation d’état. L’équation de Van der Waals est une autre équation
d’état largement utilisée pour les fluides :
[1.5]
1.2 Le premier principe
de la thermodynamique
Historiquement, la thermodynamique a d’abord été un outil d’analyse
de la conversion de la chaleur en énergie mécanique : le Français Sadi
Carnot fut un pionnier en publiant en 1824 ses Réflexions sur la puissance
motrice du Feu. Nous allons maintenant introduire sous une formulation
simple les bases de la thermodynamique nécessaires à la compréhension
de la conversion de la chaleur en énergie mécanique et vice versa.
1.2.1 Système thermodynamique fermé
■ Système thermodynamique fermé décrivant un cycle
Le premier principe postule que, pour tout système fermé décrivant un
cycle (état final thermodynamiquement identique à l’état initial), la cha-
leur échangée avec l’environnement est rigoureusement égale (et de
signe opposé) au travail échangé avec l’environnement au cours de ce
cycle; ceci est vrai pour un cycle décrit de façon irréversible comme
pour un cycle réversible. On peut écrire :
(j)6Q + j>bW = 0 [1.6]
4
La photocopie non autorisée est un délit
1 • Les deux principes
de la thermodynamique
1.2 Le premier principe
de la thermodynamique
On écrit ôQ et ÔW et non dQ et d W pour bien montrer que ce ne sont
pas des différentielles exactes : les valeurs de 6 Q et dlV dépendent du
chemin suivi.
La règle de signe retenue pour décrire ces systèmes thermodynamiques
convertissant la chaleur en énergie mécanique est la suivante : on compte
positivement toute grandeur entrant dans le système et négativement
toute grandeur sortant du système (règle dite «du banquier»). Cette
règle vaut non seulement pour l’énergie mais également pour la matière.
Attention
Une autre règle de signe largement répandue consiste à compter positive-
ment le travail mécanique produit et positivement la quantité de chaleur
absorbée par le système. Cette règle généralement utilisée par les Anglo-
Saxons présente des avantages dans le cas de la conversion thermomécanique
(cas où on s’intéresse au travail produit et à la chaleur consommée).
Ceci est un postulat qui ne peut pas être démontré mais dont le résultat
n’a jamais été mis en défaut. Ce premier principe, qui n’est autre qu’une
loi de conservation, est à l’énergie, l’équivalent de la loi de Lavoisier,
pour la matière, de conservation de la masse.
■ Système thermodynamique fermé évoluant entre deux états
thermodynamiques différents
□ La fonction d'état « Énergie »
ü
e
Figure 1.1 - Schéma pour démontrer l'existence
de la fonction d'état « Énergie totale E ».
Si un système fermé évolue
entre deux états thermo-
dynamiques 1 et 2 par une
transformation A, nous allons
supposer que ce même sys-
tème subit une transforma-
tion B ultérieure qui le
ramène à l’état 1 (Figure 1.1).
5
1 • Les deux principes
de la thermodynamique
1.2 Le premier principe
de la thermodynamique
Au cours de la transformation A + B, le système a donc décrit un cycle et
nous sommes ramenés au cas précédent. Nous pouvons donc utiliser le
postulat précédent et écrire :
(j)5Q + j>5W = 0
en décomposant le cycle en deux parties, on obtient :
J 8Q a + J ôQ b + J 5FF a + J 5W b = 0 [1.7]
12 12
Supposons maintenant qu’une autre transformation C permette de
revenir de l’état 2 à l’état 1, on aura de même :
2 12 1
JôQa + JôQc + Jôlf a + Jôh/ c = o [1.8]
12 12
En combinant ces deux dernières équations, on obtient :
1 1
J(5Q+Ô1L) = J(5Q + 5BL) [1.9]
2 B 2 C
Comme B et C sont des transformations quelconques, ceci démontre
que la variation de (5Q + 6 W) est la même pour toute transformation
permettant de passer de l’état 2 à l’état 1 indépendamment du chemin
parcouru. Les états 1 et 2 étant également quelconques, ce résultat est
valable pour toute transformation. Nous en concluons que 6Q + dlV est
une différentielle exacte d’une fonction d’état; cette fonction d’état est
appelée V énergie totale E du système thermodynamique :
6Q + 5 W= d E
[ 1 . 10 ]
6
Nous notons d E et non 6 E car d E est une différentielle exacte (ce que ne
sont ni 5Q ni 6 W).
La photocopie non autorisée est un délit
1 • Les deux principes
1.2 Le premier principe
de la thermodynamique
de la thermodynamique
Le sens physique de la fonction d’état énergie E est qu’elle représente
toute l’énergie du système thermodynamique dans un état thermodyna-
mique donné. Cette énergie peut être décomposée en trois parties :
- l’énergie cinétique E cin correspond au déplacement macroscopique des
éléments du système thermodynamique (mais n’incluant pas l’agita-
tion moléculaire) ;
- l’énergie potentielle E t globale des éléments du système (mais
n’incluant pas l’énergie potentielle atomique ou moléculaire) ;
- l’énergie interne U qui regroupe toutes les autres énergies non com-
prises dans les deux précédentes :
E = U + E cin + E pot [1.11]
En différentiant, on obtient :
cLE = dU + dE cin + dE pot [1.12]
où toutes les différentielles sont des différentielles exactes.
Le premier principe de la thermodynamique peut donc s’écrire :
5Q = dL/ + dE cm + dE pot - ÔW [1.13]
L’énergie cinétique du système est simplement donnée par :
£ cin = [1.14]
i “
où m, est la masse d’un sous-système i animé de la vitesse V- t . La décom-
position doit être effectuée sur l’ensemble des sous-ensembles de vitesses
différentes.
L’énergie potentielle due à la force de gravité est de même donnée par :
£ p ot=I ] m j£ z j [l.i5]
j
o
e
où nij est la masse du sous-système j placé au point d’altitude z- dans le
champ de la gravité £.
Les énergies cinétique, potentielle et interne sont des grandeurs extensives
car elles dépendent de la masse du système. On définit des énergies
7
1 • Les deux principes
1.2 Le premier principe
de la thermodynamique
de la thermodynamique
massiques qui correspondent aux énergies d’une unité de masse du sys-
tème et sont des grandeurs intensives.
Considérons l’échange de travail mécanique au cours d’une opération de
compression puis de détente d’un gaz entre deux états 1 et 2. Les travaux
réversibles de compression et de détente sont donnés respectivement
par :
2
W x _ 2 = -J PdV
1
1
W 2 _i = -J PdV
2
le travail total au cours de la compression et la détente est égal à :
W = -jPdV *0
Afin d’illustrer ce point, sur la figure 1.2 est tracée une évolution cycli-
que au cours de laquelle un gaz subit un chauffage à volume constant
(évolution 1-3), une détente à pression constante (3-2), un refroidis-
sement à volume constant (2-4) puis une compression à pression cons-
tante (4-1). Le travail résultant du travail contre les forces de pression est
représenté par l’aire hachurée 1-3-2 -4-1 sur la figure 1.2. Ce travail n’est
pas nul et l’on constate que, si l’on va de 1 en 2 en passant par 3 ou par 4,
le travail contre les forces de pression n’est pas le même. Ce travail
8
La photocopie non autorisée est un délit
1 • Les deux principes
1.2 Le premier principe
de la thermodynamique
de la thermodynamique
dépend du chemin suivi au cours de la transformation 1-2. 8W = -PdV
n’est pas une différentielle exacte et le travail n’est pas une fonction
d’état. Il en est de même pour la chaleur. Notons que si 8W était une
fonction d’état, il n’y aurait pas de travail échangé au cours d’un cycle.
□ Système thermodynamique fermé évoluant entre deux états
thermodynamiques à volume total constant
Lorsque le volume total du système est constant, il n’y a pas de travail
contre les forces de pression et, en l’absence d’échange d’énergie méca-
nique avec l’extérieur, l’équation [1.13] se réduit à :
(ôQ) F = (d E) y [1.16]
et, en l’absence de variation d’énergie cinétique et d’énergie potentielle :
(5QV = (d U) v
Dans une transformation à volume constant, la quantité de chaleur
échangée entre un système et le milieu extérieur est simplement égale à
la variation d’énergie de ce système.
La capacité thermique C d’un système fermé est définie comme le
rapport :
où 5Q est la chaleur échangée par le système fermé avec l’extérieur et d T
est la variation de température, supposée uniforme, du système. Dans la
mesure où 6 Q dépend du chemin suivi pour effectuer la transformation,
pour définir la capacité thermique, il faut préciser la transformation
thermodynamique. C’est ainsi qu’est définie la capacité thermique à
volume constant pour un système fermé :
□
e
9
1 • Les deux principes
1.2 Le premier principe
de la thermodynamique
de la thermodynamique
□ Système thermodynamique fermé évoluant entre deux états
thermodynamiques à pression totale constante
Dans les applications, on rencontre souvent des cas de transformations
au cours desquelles la pression totale reste constante. Supposant qu’il n’y
a pas de modifications de l’énergie cinétique ni de l’énergie potentielle,
le premier principe s’écrit simplement :
Q1-2 =U 2 -U 1 -W 1 - 2 [1.17]
Le travail réversible contre les forces de pression est donné par :
2
W l _ 2 =-jPdV = -P(V 2 -V 1 ) [1.18]
1
En combinant ces équations, on obtient :
Q1-2 = (U 2 + P 2 V 2 )-{U l +P l V,) [1.19]
On voit que, dans ce cas très particulier, la quantité de chaleur transférée
pendant la transformation est donnée par la variation de la quantité
U + PV entre les états initial et final. Il est donc utile de définir une
nouvelle fonction d’état, l’enthalpie, qui est également une grandeur
extensive :
H = U+PV
[ 1 . 20 ]
Pour une transformation à pression constante, on a simplement :
(Qi- 2 ) p = AH
[ 1 . 21 ]
On peut également définir une enthalpie massique correspondant à une
masse unitaire :
h = il + Pv [1.22]
On définit une capacité thermique à pression constante :
C P
10
La photocopie non autorisée est un délit
1 • Les deux principes
1.2 Le premier principe
de la thermodynamique
de la thermodynamique
1.2.2 Système thermodynamique ouvert
Considérons maintenant un système ouvert qui échange non seulement
chaleur et énergie mécanique avec le milieu extérieur mais également de
la matière. Pour aborder ce problème, nous allons d’abord introduire les
notions de volume de contrôle et de système fermé déformable.
■ Volume de contrôle
Le système ouvert n’est bien défini que si sa surface extérieure est elle-
même bien définie. Or cette surface est limitée par certains orifices par
lesquels s’effectue l’échange de matière avec l’extérieur. Contentons-
nous, pour l’explication, du cas où il n’y a que deux orifices : un orifice
pour l’entrée de matière et un orifice pour la sortie de matière. On peut
ainsi définir un volume de contrôle correspondant au système ouvert.
Mais on peut également définir un volume de contrôle ayant pour sur-
face extérieure celle du système ouvert mais comprenant de plus un
volume dans le conduit d’entrée et/ou de sortie. Considérant un écoule-
ment de fluide dans le système ouvert, nous allons ainsi définir trois
volumes de contrôle :
- le volume de contrôle du système ouvert;
- le volume de contrôle comprenant le système ouvert plus le volume
du fluide dans le conduit d’entrée comprenant la masse de fluide qui
va pénétrer dans l’ouvert entre les temps f et t + df ;
- le volume de contrôle comprenant le système ouvert plus le volume
du fluide dans le conduit de sortie comprenant la masse de fluide qui
va sortir de l’ouvert entre les temps t et f + df.
o
e
■ Système fermé déformable
Ayant introduit ces différents volumes de contrôle, on peut définir un
système fermé déformable (Fermé 1) qui, à l’instant f, comprend tout le
système ouvert plus la matière contenue dans le volume du conduit
d’entrée qui sera introduite dans le système ouvert entre les temps t et
t + df (Figure 1.3). Au cours du temps f à t + df, la matière contenue dans
le conduit d’entrée va pénétrer dans l’ouvert; en revanche de la matière
va sortir dans le conduit de sortie. Ainsi, on peut définir à l’instant f + df
1 • Les deux principes
de la thermodynamique
1.2 Le premier principe
de la thermodynamique
un système fermé (Figure 1.3) qui comprend le système ouvert plus la
matière contenue dans le volume du conduit de sortie qui est extraite
entre les temps t et t + dt (Fermé 2, Figure 1.3). La matière contenue
dans ces deux systèmes fermés que nous venons de définir est, par cons-
truction de ces deux fermés, la même. Ces deux fermés ne constituent
qu’un seul et même système ayant des volumes de contrôle différents.
On a ainsi défini un volume fermé déformable qui évolue en fonction
du temps sans échanger de matière avec l’environnement.
Système fermé à l'instant f = système
ouvert à f + masse qui va rentrer
pendant l'intervalle de temps f, f + dt
Système fermé à l'instant t + dt = système
ouvert à (t + dt) + masse qui est sortie
pendant l'intervalle de temps f, f + dt
12
Figure 1.3 - Volume de contrôle déformable
simulant un système ouvert à partir d'un système fermé.
La photocopie non autorisée est un délit
1 • Les deux principes
1.2 Le premier principe
de la thermodynamique
de la thermodynamique
Affermé “ M ouvm,t + \^ M e\ ~ M ouvert, l+Jt + \^ M s\ [1-23]
où nous avons appelé M ouvertjf et M ouvert) + d , la masse du système ouvert
aux instants f et f + df (cette masse est différente en régime transitoire
mais est la même en régime stationnaire - ou permanent) et A M e et A M s
les quantités de matière qui rentrent dans et sortent du système ouvert
pendant l’intervalle de temps df. La relation [1.23] intègre le fait que la
masse est une grandeur extensive. La même démarche sera appliquée
dans ce chapitre pour l’énergie et pour l’entropie.
On a utilisé les valeurs absolues car, avec notre règle de signe, A M s est
négatif.
■ Conservation de l'énergie
ü
e
Ayant introduit un système fermé déformable (Figure 1.3), il est pos-
sible de lui appliquer le premier principe, sous la forme [1.10]
(dE = 6Q + 8W), qui échange une puissance calorifique Q avec le
milieu extérieur (correspondant à une quantité de chaleur 6Q pendant
l’intervalle de temps df) et une puissance mécanique W (d’énergie autre
que calorifique) avec le milieu extérieur (correspondant à un travail 5W
pendant l’intervalle de temps df). Néanmoins, du travail est également
transporté par le débit massique (c’est le travail de transvasement). En
effet, le fluide à une entrée ou une sortie a un ensemble de propriétés P,
v . , e, u, h, etc. Supposons qu’une masse de fluide possédant ces propriétés
se trouve dans un conduit en entrée. Cette masse dejluide se trouve poussée
dans le volume de contrôle par le reste du fluide. Au cours du transvasement, cette
poussée effectue un travail équivalent à celui d’un piston qui se déplace de AV e et ce
travail est égal à PffV e pour un volume déplacé AV e à la pression P e . Pour le
fluide extrait du volume de contrôle, le même raisonnement vaut, mais
cette fois, le système doit produire du travail pour pousser le fluide et le
travail est égal à -|P S AL)| = (PAL).. Une autre quantité de travail est à
prendre en considération, c’est celle liée à la déformation éventuelle du
système (nulle en régime permanent mais qui peut exister en régime
transitoire). Nous supposerons ici que cette quantité de travail est prise
en compte dans le terme dW qui comptabilise donc tous les échanges de
13
1 • Les deux principes
1.2 Le premier principe
de la thermodynamique
de la thermodynamique
travail autres que le travail de transvasement. Dans ces conditions,
l’équation [1.10] de conservation de l’énergie du système fermé s’écrit :
E Ccrmé , l+dl ~ Efermé,, = §Q + § W + \{P AV\\ - |(PAK)J
= 8Q + 8W + (PAV) e +(PAV) s
Cette expression n’est rien d’autre que la relation [1.10] appliquée au
système déformable dans laquelle apparaissent deux termes supplé-
mentaires : (PAV) +(PAF) j où les quantités AV sont des grandeurs
algébriques; dans l’équation [1.24], nous avons utilisé les deux notations
avec et sans valeurs absolues pour bien indiquer que AV S est négatif. En
effet, la variation AV est comptée positivement si elle correspond à une
masse qui pénètre dans le système.
Par définition du système fermé déformable et introduisant les gran-
deurs massiques, on peut comparer l’énergie du système fermé, qui est
une grandeur extensive comme la masse, à celle du système ouvert de
façon similaire à ce qui a été fait pour la masse :
F — F
^fermé.ff+df) -‘-'fermé, f
= ^ouvert, (t+df) - ^ouvert,/ “ (« A M ) s - M) (
où ont été introduits :
[1.25]
AE es = (e AM) e s AV e<s = (vAM) e j [1.26]
où e et v sont respectivement l’énergie et le volume massique de la
matière échangée avec le milieu extérieur. L’indice e ou 5 se réfère au
débit entrant ou sortant.
Introduisant les notions de puissances ( Q et W ) et m de débits
(Figure 1.4), les équations [1.24] et [1.25] peuvent maintenant s’écrire
sous la forme :
f E fermé,(< + d() “ E fermé,< = Qdt + W dt + dt(Pum) + d t(Pvth) (a)
... ... [1.27]
[^fermé,{(+d/) Pfermé,! ~ -^ouvert, ((+d() ^ouvert ,( yeikj^dt (b)
14
La photocopie non autorisée est un délit
Considérons un système
ouvert qui, dans l’intervalle
de temps df, échange de la
chaleur, du travail mécani-
que et de la masse avec son
environnement. On définit
les débits et les puissances
instantanés en écrivant sim-
plement que
Figure 1.4 - Définition des débits et puissances. bQ = Qdt bW = Wdt et
dm = mdt sans oublier la
règle de signe qui consiste à
compter positivement ce qui rentre dans le système et à compter négati-
vement ce qui sort du système. En régime stationnaire (les grandeurs
définies dépendent de l’espace mais ne varient pas dans le temps), les
débits et puissances instantanés sont des constantes indépendantes du
temps mais pouvant varier dans l’espace.
Combinant les équations [1.27a et b] et introduisant :
on obtient :
C P
^ouvert^f+df) ^ouvert, t
d t
d E
d t
d E
i _d/_ j
Accumulation
Q + W + m e (e+ Pv) e + m s {e+P v)
Flux d énergie Flux d’énergie via les
thermique+mécanique transferts de masse
[ 1 . 28 ]
La formule la plus générale tient compte du fait qu’il peut y avoir plu-
sieurs entrées et sorties possibles pour la matière ainsi que plusieurs
sources de chaleur, sommant sur toutes ces entrées et sorties possibles
ainsi que sur toutes les sources de chaleur :
[1.29]
En l’absence d’autre contribution à l’énergie spécifique totale que l’énergie
interne, l’énergie cinétique et l’énergie potentielle de gravité, l’énergie
15
1 • Les deux principes
de la thermodynamique
1.2 Le premier principe
de la thermodynamique
1-2
massique e n’est autre que u + —V +gz (y est la vitesse) ; en tenant
compte de la définition de Penthalpie h = u + Pv, [1.29] s’écrit :
d E
accumulation
= IQ, +
i
flux de
chaleur
W + ^ m e s j h + — V 2 + gz j
puissance e,s ^ ^ ' e,s
mécanique v v '
puissance transmise
via les transferts de matière
[1.30]
Cette écriture générale en régime dynamique comprend le terme
d’accumulation qui est égal à la somme des flux de chaleur, de la puis-
sance mécanique et des flux d’énergie convectés par les transferts de
matière. Il est important de noter que la puissance mécanique comprend
non seulement la puissance mécanique transmise via un arbre ou tout
autre moyen, mais également la puissance mécanique associée à la défor-
mation du système ouvert.
■ Cas particuliers de systèmes ouverts
□ Système fermé décrivant un cycle
Pour un système fermé, les deux derniers termes de l’équation qui cor-
respondent aux flux d’échange de matière avec l’extérieur sont nuis si
bien que l’équation se réduit à sa forme bien connue :
d E
df
= Q + W
L’intégration de cette équation le long d’un cycle donne :
(j) — dr = (j) Q dr + c|) IÙ dt et^5H / + cf5Q = 0
car£ est une fonction d’état, qui n’est autre que l’équation [ 1.6] que l’on
retrouve de cette manière.
16
□ Régime stationnaire
Un cas particulièrement étudié est celui des systèmes ouverts stationnaires
pour lesquels toutes les grandeurs du système sont indépendantes du
La photocopie non autorisée est un délit
1 • Les deux principes
de la thermodynamique
1.2 Le premier principe
de la thermodynamique
temps. Ceci signifie notamment que l’énergie totale est indépendante du
temps. En revanche, le système étant ouvert, les échanges de masse avec
l’extérieur sont autorisés, les équations de conservation de la masse et de
l’énergie donnent :
^ m + ^ th s = 0
2_,m +2X = 0 (a)
e s
0 = Q + W + J j m e Jh+-V 2 +gz
[ V 2
(régime stationnaire).
Un cas encore plus particulier très important est celui de l’écoulement
d’un seul fluide en régime stationnaire au cours duquel les variations
d’énergies cinétique et potentielle sont négligeables; l’équation [1.31] se
simplifie encore :
(b)
[1.31]
0 = Q + W + m ( h e - h s )
[1.32]
(un seul fluide et variations d’énergies cinétique et potentielle nulles) où
nous avons défini : m = m e = -th s .
L’équation [1.32] sera particulièrement utilisée dans l’étude des cycles.
En effet, dans les composants qui n’échangent que de la chaleur avec le
milieu extérieur, W = 0 et [1.32] devient :
Q = m(h s — h e ) si W = 0
[1.33]
en revanche pour les transformations adiabatiques où il y aura produc-
tion d’énergie mécanique, Q = 0 et [ 1.32] devient :
W = m {li s —h e ) si Q = 0
[1.34]
□ Équation de Bernoulli
L’équation de Bernoulli peut être dérivée de l’équation [1.31]. Considé-
rons l’écoulement permanent unidimensionnel d’un fluide qui n’échange
17
1 • Les deux principes
1.3 Le second principe
de la thermodynamique
de la thermodynamique
ni chaleur ni travail mécanique avec le milieu extérieur. Dans ces condi-
tions, l’équation [1.31] se réduit à :
. 1
h + — V+gz
V +gz
[1.35]
qui n’est autre que l’équation de Bernoulli signifiant qu’au cours de
l’écoulement, il y a conservation de l’énergie totale. Cette équation de
Bernoulli est plus connue sous sa forme :
P V A
1 1- gz = cte
P 2
V
ou P + p— — + pgz = cte [1.36]
que l’on obtient directement de [1.35] si l’énergie interne u est cons-
1
tante en notant que h = u + Pv et que v = — . Les termes P, P + pgz,
P
r v.9 a
1
-pgz et
P + p — + pgz
sont appelés respectivement : pression sta-
tique, pression motrice, pression dynamique et pression totale.
1.3 Le second principe
de la thermodynamique
Le premier principe nous a montré que toutes les formes d’énergie
étaient équivalentes et comment elles se conservaient. Néanmoins, il ne
nous dit rien sur le sens dans lequel se déroulent les phénomènes natu-
rels. Si on met en contact thermique 1 kg d’eau à 20 °C avec 1 kg d’eau à
10 °C, on sait qu’en attendant suffisamment longtemps, on obtiendra
2 kg d’eau à 15 °C; mais d’après le premier principe, on pourrait tout
aussi bien obtenir 1 kg à 25 °C et 1 kg à 5 °C à partir d’eau à 20 °C : nous
savons qu’il n’en est rien. C’est cette information que nous amène le
second principe également appelé principe de Carnot.
18
La photocopie non autorisée est un délit
1 • Les deux principes
1.3 Le second principe
de la thermodynamique
de la thermodynamique
1.3.1 Les énoncés du second principe
Plusieurs énoncés existent pour ce second principe, nous allons en pré-
senter deux.
Énoncé original de Clausius - Cet énoncé postule « qu’il ne peut pas
s’effectuer, sans compensation, de passage de chaleur d’un corps froid à
un corps plus chaud ».
Énoncé de Lord Kelvin — « A l’aide d’un système qui décrit un cycle et
qui n’est en contact qu’avec une seule source de chaleur, il est impossi-
ble de recueillir du travail. »
Comme le premier principe, le second principe est un postulat qui n’est
pas démontré.
1.3.2 Théorème de Carnot
□
e
La notion de cycle réversible échangeant de la chaleur avec deux sources
de chaleur a été utilisée par Sadi Carnot pour introduire le second prin-
cipe et surtout pour démontrer le théorème de Carnot : « Toutes les
machines thermiques dithermes réversibles fonctionnant entre deux
températures données T 1 et T 0 ont le même rendement. »
Avant d’aborder le théorème de Carnot, il est utile d’introduire la notion
de source de chaleur à température constante ainsi que la notion de cycle
ditherme. Dans les raisonnements suivants, nous allons considérer des
systèmes thermodynamiques fermés qui décrivent des cycles. Décrivant
des cycles, leur état initial et leur état final sont identiques. Au cours
d’un tel cycle, le système fermé échange uniquement de l’énergie avec
l’extérieur. L’énergie échangée comprend de l’énergie mécanique et de la
chaleur. Pour la chaleur, on comptabilise les différentes quantités de
chaleur échangées avec chaque source de chaleur. Les sources de chaleur
sont supposées être à température constante et pouvoir échanger toute
quantité de chaleur (> 0 ou < 0) avec un système thermodynamique.
Dans l’approche développée ici, nous supposerons de plus que les
échanges s’effectuent sans résistance thermique et donc sans différence
de température entre la source et le composant du système thermodyna-
mique. Par ailleurs, un cycle ditherme est un cycle qui n’échange de la
19
1 • Les deux principes
1.3 Le second principe
de la thermodynamique
de la thermodynamique
chaleur qu’avec deux sources de chaleur à deux températures bien défi-
nies, toutes les autres transformations sont nécessairement adiabatiques.
Figure 1.5 - Démonstration du théorème de Carnot :
(a) les deux cycles dithermes réversibles
et (b) le cycle monotherme équivalent aux deux cycles dithermes.
Pour démontrer ce théorème, Carnot a imaginé deux cycles réversibles
évoluant entre les deux mêmes sources de chaleur. S’appuyant sur le
second principe, il a démontré, par un raisonnement par l’absurde, que
le rendement des deux cycles est le même. Le raisonnement est le suivant.
Chacun des cycles étant réversible, nous pouvons faire fonctionner l’un,
A (Figure 1.5), en cycle moteur, l’autre, B, en cycle inverse (cycle de
réfrigération) . Le cycle moteur prélève Q s c à la source chaude et cède
Q s £ à la source froide. Pour le cycle constitué par la somme des cycles A
et B, il n’y a pas d’échange de chaleur avec la source chaude puisque
20
La photocopie non autorisée est un délit
1 • Les deux principes
1.3 Le second principe
de la thermodynamique
de la thermodynamique
nous avons fait en sorte que la quantité de chaleur cédée par un cycle est
rigoureusement égale à celle prélevée par l’autre cycle. Ceci conduit à
une machine cyclique qui échange de la chaleur avec une seule source
de chaleur. D’après l’énoncé de Lord Kelvin, cette machine ne peut pas
produire d’énergie motrice. On peut montrer que le rendement du cycle
moteur A ne peut pas être supérieur au rendement du cycle moteur B
réversible. Ceci prouve que tous les cycles réversibles fonctionnant entre
deux sources de température ont le même rendement. Ce rendement ne
dépend donc pas de la nature du cycle utilisé, il ne dépend que des
niveaux de températures. Poussant le raisonnement développé plus haut
en supposant maintenant que le cycle moteur est irréversible, on montre
facilement que la machine cyclique absorbe de l’énergie mécanique et
rejette de la chaleur à l’environnement, ce qui est compatible avec le
second principe. Une conséquence de cette démonstration est que le
rendement d’un cycle irréversible est inférieur au rendement d’un cycle
de Carnot.
Dans la mesure où le rendement de Carnot d’un cycle est fonction uni-
quement des températures des sources, nous pouvons écrire :
r 1 = l + ^= 1 + (p('r, c ,T s . f .)
^S.C.
où (p désigne une fonction à déterminer.
1.3.3 Échelle de température
La notion d’échelle de température absolue a été introduite en utilisant
le théorème de Carnot et en considérant trois cycles réversibles fonc-
tionnant avec trois sources de chaleur à trois températures différentes
(T s c , T s f et une température intermédiaire T int ). En combinant ces trois
cycles pour obtenir deux cycles réversibles fonctionnant entre les tem-
pératures extrêmes (Figure 1.6) :
- un cycle A est constitué de deux cycles réversibles fonctionnant en
série, l’un travaille entre T sc et T int ; l’autre travaille entre T int et T s[ .
Les cycles sont tels que la chaleur cédée à la source intermédiaire de
chaleur par le cycle haute température est égale à la chaleur prélevée
par le cycle basse température à cette même source de chaleur;
21
1 • Les deux principes
1.3 Le second principe
de la thermodynamique
de la thermodynamique
- un cycle B fonctionnant entre les sources chaude et froide (nous nous
arrangeons pour que la chaleur prélevée par ce cycle à la source chaude
soit la même que celle prélevée par le cycle A).
Le cycle B global n’échange de la chaleur qu’avec les sources extrêmes
de température, on peut donc lui appliquer le théorème de Carnot entre
ces sources.
Figure 1.6 - Les trois cycles réversibles considérés
pour introduire l'échelle des températures absolues.
Dans la mesure où le rendement d’un cycle réversible ne dépend que
des niveaux de températures, les rendements des cycles A et B sont égaux.
Dans ces conditions, dans un cycle ditherme réversible, on peut démon-
trer que :
Qs. f . ^.f.
Qs.c. T,c.
[1.37]
22
La photocopie non autorisée est un délit
1 • Les deux principes
1.3 Le second principe
de la thermodynamique
de la thermodynamique
Dans un cycle ditherme réversible, les quantités de chaleur échangées
avec les sources extérieures de chaleur sont de signe opposé et sont dans
le rapport des températures absolues (ou températures Kelvin) .
Afin d’étayer sa démonstration, Carnot a imaginé un cycle constitué de
deux isothermes et de deux adiabates, dans lequel toutes les transforma-
tions sont réversibles. Les seules quantités de chaleur échangées avec
l’extérieur sont celles échangées au cours des deux transformations iso-
thermes avec des sources de chaleur à température constante. On
obtient ainsi un cycle ditherme.
La relation [1.37] est combinée avec le premier principe pour le cycle
ditherme :
ff + Qs.c. + Qs.f. - 0
Pour un cycle moteur (Figure 1.7), le rendement de Carnot s’écrit :
fi =
W
= 1 + Qs£ = 1 Tsf '
Qs.c.
O T
v <s.c . s.c.
[1.38]
Pour un cycle inverse de réfrigération (Figure 1.7), le froid produit et le
travail mécanique utilisé sont positifs, et l’on définit comme efficacité de
Carnot le COP c (coefficient de performance) :
COP c =
Qs.f.
w
T s . f
T s . c . ~ T s (
[1.39]
Enfin, dans le cas d’une pompe à chaleur (Figure 1.7), c’est le même
cycle inverse que pour un réfrigérateur mais c’est la chaleur produite
(donc négative) à la source chaude qui est utilisée et l’on définit le coef-
ficient d’amplification de Carnot ( COA = COP ch ) qui nous intéresse :
ü
0
COA c = COP ch = -
P.
W
T sx . ~ T’s.f.
= 1 + COP
ref
[1.40]
Une unité de cogénération est un cycle moteur dans lequel la chaleur de
la source froide est valorisée. Les spécialistes de cogénération ont cou-
23
1 • Les deux principes
1.3 Le second principe
de la thermodynamique
de la thermodynamique
Q,c. + Q,, + w=o
Cycle
moteur
Cycle
inverse
réfrogération
Cycle
inverse
pompe à chaleur
Figure 1.7 - Définition des grandeurs utilisées
pour caractériser les performances des cycles.
tume d’appeler rendement de cogénération : r| g
\ w + Qs.f.
Qs.c.
Si toute
la chaleur de la source froide était utilisée, on aurait bien entendu r\ g = 1 .
I Exemples
Une turbine à vapeur fonctionne entre 600 K (327 °C) et 300 K (27 °C), son
rendement de Carnot est de 0,5. Un réfrigérateur fonctionne entre -10 °C et
40 °C, son COP de Carnot est de 5,2. Le coefficient d’amplification de Car-
not de la pompe à chaleur fonctionnant entre -10 °C et 40 °C est de 6,2.
Pour un cycle ditherme réversible, nous avons, d’après [1.36] :
1.3.4 Inégalité de Clausius pour les systèmes fermés
Pour démontrer l’inégalité de Clausius :
[1.41]
24
La photocopie non autorisée est un délit
1 • Les deux principes
1.3 Le second principe
de la thermodynamique
de la thermodynamique
on montre qu’elle est vérifiée pour tous les cycles dithermes (cycles
moteurs aussi bien que cycles de réfrigération). Comme tout cycle peut
être décomposé en une succession de cycles dithermes, cette démonstra-
tion a valeur générale.
■ Cycle mot
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